ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.116

Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию: $$ b_1 = a, \quad q = \frac{-a^2}{a} = -a $$ Ряд сходится и имеет конечную сумму тогда и только тогда, когда прогрессия является бесконечно убывающей, то есть при $|q| < 1$: $$ |-a| < 1 \iff |a| < 1 $$ При выполнении этого условия сумма ряда вычисляется по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{a}{1 - (-a)} = \frac{a}{1 + a} $$ Проверим возможность равенства суммы заданным значениям при условии $|a| < 1$. 1) $S = 0,25$ Составим уравнение: $$ \frac{a}{1 + a} = 0,25 $$ $$ \frac{a}{1 + a} = \frac{1}{4} $$ $$ 4a = 1 + a $$ $$ 3a = 1 \implies a = \frac{1}{3} $$ Проверим условие существования суммы: $$ |a| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1 $$ Условие сходимости выполняется. Значит, сумма ряда может быть равной $0,25$ при $a = \frac{1}{3}$. **Ответ:** может. --- 2) $S = -0,6$ Составим уравнение: $$ \frac{a}{1 + a} = -0,6 $$ $$ \frac{a}{1 + a} = -\frac{3}{5} $$ $$ 5a = -3(1 + a) $$ $$ 5a = -3 - 3a $$ $$ 8a = -3 \implies a = -\frac{3}{8} = -0,375 $$ Проверим условие существования суммы: $$ |a| = |-0,375| = 0,375 < 1 $$ Условие сходимости выполняется. Значит, сумма ряда может быть равной $-0,6$ при $a = -0,375$. **Ответ:** может. --- 3) $S = 0,5$ Составим уравнение: $$ \frac{a}{1 + a} = 0,5 $$ $$ \frac{a}{1 + a} = \frac{1}{2} $$ $$ 2a = 1 + a $$ $$ a = 1 $$ Проверим условие существования суммы: $$ |a| = |1| = 1 \not< 1 $$ Условие $|a| < 1$ не выполняется. При $a = 1$ ряд принимает вид $1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$, который расходится и не имеет суммы. Значит, сумма ряда не может быть равной $0,5$. **Ответ:** не может.