ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.118

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию прогрессия состоит из положительных членов и является бесконечно убывающей, следовательно, $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$. Выразим третий и пятый члены прогрессии через формулу $n$-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$: $$ b_3 = b_1 \cdot q^2 $$ $$ b_5 = b_1 \cdot q^4 $$ По условию $b_1 = 4$, а разность третьего и пятого членов равна $\frac{32}{81}$: $$ b_3 - b_5 = \frac{32}{81} $$ $$ 4q^2 - 4q^4 = \frac{32}{81} $$ Разделим обе части уравнения на 4: $$ q^2 - q^4 = \frac{8}{81} $$ $$ q^4 - q^2 + \frac{8}{81} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на 81: $$ 81q^4 - 81q^2 + 8 = 0 $$ Пусть $t = q^2$. Так как $0 < q < 1$, то $0 < t < 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 81t^2 - 81t + 8 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-81)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 8 = 6561 - 2592 = 3969 = 63^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{81 - 63}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9} $$ $$ t_2 = \frac{81 + 63}{2 \cdot 81} = \frac{144}{162} = \frac{8}{9} $$ Оба значения удовлетворяют условию $0 < t < 1$. Возвращаемся к переменной $q$ (учитывая, что $q > 0$): 1) $q^2 = \frac{1}{9} \implies q = \frac{1}{3}$ Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ S_1 = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 $$ 2) $q^2 = \frac{8}{9} \implies q = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ Находим сумму прогрессии: $$ S_2 = \frac{4}{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{4}{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}} = \frac{12}{3 - 2\sqrt{2}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$ S_2 = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{12(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = 12(3 + 2\sqrt{2}) = 36 + 24\sqrt{2} $$ Ответ: $6$ или $36 + 24\sqrt{2}$.