ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.121

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, причём $|q| < 1$. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ По условию задачи, $S = 56$: $$ \frac{b_1}{1 - q} = 56 $$ Рассмотрим последовательность квадратов членов данной прогрессии: $b_1^2, b_2^2, b_3^2, \ldots$ Она также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$ (так как $|q| < 1$, то $0 \le q^2 < 1$). Её сумма равна: $$ S_2 = \frac{b_1^2}{1 - q^2} $$ По условию задачи, $S_2 = 448$: $$ \frac{b_1^2}{1 - q^2} = 448 $$ Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \dfrac{b_1}{1 - q} = 56 \\ \dfrac{b_1^2}{1 - q^2} = 448 \end{cases} $$ Возведём обе части первого уравнения в квадрат: $$ \frac{b_1^2}{(1 - q)^2} = 56^2 $$ $$ \frac{b_1^2}{(1 - q)^2} = 3136 $$ Разделим полученное уравнение на второе уравнение исходной системы: $$ \frac{\dfrac{b_1^2}{(1 - q)^2}}{\dfrac{b_1^2}{1 - q^2}} = \frac{3136}{448} $$ $$ \frac{1 - q^2}{(1 - q)^2} = 7 $$ Применим формулу разности квадратов $1 - q^2 = (1 - q)(1 + q)$: $$ \frac{(1 - q)(1 + q)}{(1 - q)^2} = 7 $$ Так как $q \neq 1$, сократим дробь на $(1 - q)$: $$ \frac{1 + q}{1 - q} = 7 $$ Решим полученное линейное уравнение: $$ 1 + q = 7(1 - q) $$ $$ 1 + q = 7 - 7q $$ $$ q + 7q = 7 - 1 $$ $$ 8q = 6 $$ $$ q = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0{,}75 $$ Значение знаменателя удовлетворяет условию бесконечно убывающей прогрессии ($|0{,}75| < 1$). Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = \frac{3}{4}$ в первое уравнение: $$ b_1 = 56(1 - q) $$ $$ b_1 = 56 \cdot \left(1 - \frac{3}{4}\right) = 56 \cdot \frac{1}{4} = 14 $$ Ответ: $b_1 = 14$, $q = 0{,}75$.