ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.115

**1)** Дано уравнение: $$ x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{3}{7} $$ Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где: - первый член $b_1 = x$; - знаменатель прогрессии $q = \frac{x^2}{x} = x$. Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует только при условии $|q| < 1$, то есть $|x| < 1$. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ \frac{x}{1 - x} = \frac{3}{7} $$ Решим полученное пропорциональное уравнение при условии $x \neq 1$: $$ 7x = 3(1 - x) $$ $$ 7x = 3 - 3x $$ $$ 7x + 3x = 3 $$ $$ 10x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{10} = 0{,}3 $$ Проверим условие сходимости: $|0{,}3| < 1$ — условие выполняется. Ответ: $0{,}3$. --- **2)** Дано уравнение: $$ x - x^2 + x^3 - \ldots + (-1)^{n-1} x^n + \ldots = -4 $$ Левая часть уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где: - первый член $b_1 = x$; - знаменатель прогрессии $q = \frac{-x^2}{x} = -x$. Сумма существует при условии $|q| < 1$, то есть $|-x| < 1 \iff |x| < 1$. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$ S = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1 + x} $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ \frac{x}{1 + x} = -4 $$ Решим уравнение при условии $x \neq -1$: $$ x = -4(1 + x) $$ $$ x = -4 - 4x $$ $$ x + 4x = -4 $$ $$ 5x = -4 $$ $$ x = -\frac{4}{5} = -0{,}8 $$ Проверим условие сходимости: $|-0{,}8| < 1$ — условие выполняется. Ответ: $-0{,}8$.