ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.114

Зададим данную последовательность рекуррентно: $$ x_1 = \sqrt{2}, \quad x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} \text{ при } n \ge 1 $$ Для доказательства сходимости последовательности воспользуемся теоремой Вейерштрасса: всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. **1. Докажем ограниченность последовательности сверху.** Докажем методом математической индукции, что для всех $n \ge 1$ выполняется неравенство $x_n < 2$. База индукции: при $n = 1$ имеем $x_1 = \sqrt{2} < 2$ — верно. Шаг индукции: пусть неравенство верно для $n = k$, то есть $x_k < 2$. Докажем, что оно верно и для $n = k + 1$: $$ x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 $$ Неравенство доказано для любого $n \in \mathbb{N}$. Так как все члены последовательности положительны, последовательность ограничена: $0 < x_n < 2$. **2. Докажем монотонность (возрастание) последовательности.** Докажем методом математической индукции, что $x_{n+1} > x_n$ для всех $n \ge 1$. База индукции: при $n = 1$: $$ x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} $$ Так как $2 < 2 + \sqrt{2}$, то $\sqrt{2} < \sqrt{2 + \sqrt{2}}$, то есть $x_2 > x_1$ — верно. Шаг индукции: пусть $x_{k+1} > x_k$. Докажем, что $x_{k+2} > x_{k+1}$: $$ x_{k+1} > x_k \implies 2 + x_{k+1} > 2 + x_k \implies \sqrt{2 + x_{k+1}} > \sqrt{2 + x_k} $$ Отсюда следует, что $x_{k+2} > x_{k+1}$. Следовательно, последовательность $(x_n)$ является строго возрастающей. Поскольку последовательность $(x_n)$ монотонно возрастает и ограничена сверху числом $2$, по теореме Вейерштрасса она сходится и имеет конечный предел: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = L $$ **3. Найдем предел последовательности.** Так как $x_1 = \sqrt{2}$ и последовательность возрастает, то $L \ge \sqrt{2} > 0$. Перейдем к пределу при $n \to \infty$ в рекуррентном соотношении $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$: $$ \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 + x_n} $$ $$ L = \sqrt{2 + L} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ L^2 = 2 + L $$ $$ L^2 - L - 2 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ (L - 2)(L + 1) = 0 $$ $$ L_1 = 2, \quad L_2 = -1 $$ Значение $L = -1$ не удовлетворяет условию $L > 0$. Следовательно, $L = 2$. Ответ: последовательность сходится, $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$.