ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.106

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. 1) $x_n = \frac{1}{3^n}$ Запишем формулу в виде: $$ x_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n $$ Найдём отношение последующего члена к предыдущему: $$ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} $$ Отношение постоянно для любого $n$, значит, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Так как $|q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1$, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 2) $y_n = \frac{3^n - 2}{3^n}$ Вычислим первые несколько членов последовательности: $$ y_1 = \frac{3^1 - 2}{3^1} = \frac{1}{3} $$ $$ y_2 = \frac{3^2 - 2}{3^2} = \frac{9 - 2}{9} = \frac{7}{9} $$ $$ y_3 = \frac{3^3 - 2}{3^3} = \frac{27 - 2}{27} = \frac{25}{27} $$ Проверим отношение соседних членов: $$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{\frac{7}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{7}{3} $$ $$ \frac{y_3}{y_2} = \frac{\frac{25}{27}}{\frac{7}{9}} = \frac{25}{27} \cdot \frac{9}{7} = \frac{25}{21} $$ Так как $\frac{y_2}{y_1} \neq \frac{y_3}{y_2}$, отношение не является постоянным числом. Значит, эта последовательность вообще не является геометрической прогрессией. 3) $z_n = \frac{64}{2^n}$ Найдём отношение последующего члена к предыдущему: $$ \frac{z_{n+1}}{z_n} = \frac{\frac{64}{2^{n+1}}}{\frac{64}{2^n}} = \frac{64 \cdot 2^n}{64 \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2} $$ Отношение постоянно, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$ и первым членом $z_1 = \frac{64}{2^1} = 32$. Так как $|q| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ответ: 1) и 3).