ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.104

**3.104.** Для доказательства того, что значение данного выражения является целым числом, упростим его, приведя дроби к общему знаменателю. Исходное выражение: $$ \frac{9 - 4\sqrt{5}}{9 + 4\sqrt{5}} + \frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{5}} $$ 1. Общим знаменателем для обеих дробей является произведение их знаменателей: $$ (9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) $$ Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $$ (9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - (16 \cdot 5) = 81 - 80 = 1 $$ 2. Дополнительным множителем для первой дроби является $(9 - 4\sqrt{5})$, а для второй дроби — $(9 + 4\sqrt{5})$. Сложим дроби: $$ \frac{(9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2}{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5})} = \frac{(9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2}{1} = (9 - 4\sqrt{5})^2 + (9 + 4\sqrt{5})^2 $$ 3. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (9 - 4\sqrt{5})^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 = 81 - 72\sqrt{5} + 80 = 161 - 72\sqrt{5} $$ $$ (9 + 4\sqrt{5})^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2 = 81 + 72\sqrt{5} + 80 = 161 + 72\sqrt{5} $$ 4. Сложим полученные выражения: $$ (161 - 72\sqrt{5}) + (161 + 72\sqrt{5}) = 161 + 161 - 72\sqrt{5} + 72\sqrt{5} = 322 $$ Число $322$ принадлежит множеству целых чисел ($322 \in \mathbb{Z}$). Что и требовалось доказать.