ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.8

Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$ Приведем каждое из уравнений к данному виду путем выделения полных квадратов. **1)** $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$: $$ (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) + 9 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (x^2 - 2 \cdot 3x + 9) - 9 + (y^2 + 2 \cdot 4y + 16) - 16 + 9 = 0 $$ $$ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 - 16 = 0 $$ $$ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 $$ $$ (x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 4^2 $$ Центр окружности: $(3; -4)$, радиус: $R = 4$. --- **2)** $x^2 + y^2 + 3x - 4y = 0$ Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$: $$ (x^2 + 3x) + (y^2 - 4y) = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ \left(x^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + (y^2 - 2 \cdot 2y + 4) - 4 = 0 $$ $$ \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + (y - 2)^2 - \frac{25}{4} = 0 $$ $$ \left(x - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 $$ Центр окружности: $\left(-\frac{3}{2}; 2\right)$ (или $(-1{,}5; 2)$), радиус: $R = \frac{5}{2} = 2{,}5$. --- **3)** $x^2 + y^2 + 7y = 0$ Сгруппируем слагаемые и дополним выражение с $y$ до полного квадрата: $$ x^2 + \left(y^2 + 2 \cdot \frac{7}{2}y + \frac{49}{4}\right) - \frac{49}{4} = 0 $$ $$ (x - 0)^2 + \left(y + \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} $$ $$ (x - 0)^2 + \left(y - \left(-\frac{7}{2}\right)\right)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 $$ Центр окружности: $\left(0; -\frac{7}{2}\right)$ (или $(0; -3{,}5)$), радиус: $R = \frac{7}{2} = 3{,}5$. --- **4)** $x^2 + y^2 - x - y - 3 = 0$ Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$: $$ (x^2 - x) + (y^2 - y) - 3 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ \left(x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} + \left(y^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4} - 3 = 0 $$ $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{2} = 0 $$ $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{7}{2} $$ Центр окружности: $\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$ (или $(0{,}5; 0{,}5)$), радиус: $R = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.