ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.73

### 1) \( y \le 3x^2 \) 1. Построим границу области — график функции: $$ y = 3x^2 $$ Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вверх. Дополнительные точки для построения: $(-1; 3)$, $(1; 3)$, $(-2; 12)$, $(2; 12)$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), границу строим сплошной линией (она входит в решение). 2. Определим область решений с помощью пробной точки $(0; 1)$: $$ 1 \le 3 \cdot 0^2 \implies 1 \le 0 \quad \text{(неверно)} $$ Точка $(0; 1)$, лежащая внутри «чаши» параболы, не удовлетворяет неравенству. Значит, решением является внешняя часть параболы. **Ответ:** Множество точек плоскости, расположенных на параболе $y = 3x^2$ и под ней (ниже параболы). --- ### 2) \( y \ge 2x^2 - 3 \) 1. Построим границу области: $$ y = 2x^2 - 3 $$ Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; -3)$. Точки пересечения с осями и вспомогательные точки: при $x = 0 \implies y = -3$; при $x = \pm 1 \implies y = -1$; при $x = \pm 2 \implies y = 5$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница проводится сплошной линией. 2. Выберем пробную точку $(0; 0)$: $$ 0 \ge 2 \cdot 0^2 - 3 \implies 0 \ge -3 \quad \text{(верно)} $$ Точка $(0; 0)$ находится внутри параболы и удовлетворяет неравенству. **Ответ:** Множество точек плоскости, расположенных на параболе $y = 2x^2 - 3$ и выше неё (внутри «чаши» параболы, включая границу). --- ### 3) \( y < x^2 - 3x + 2 \) 1. Построим границу области: $$ y = x^2 - 3x + 2 $$ Это парабола, ветви направлены вверх. Координаты вершины: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ $$ y_0 = (1{,}5)^2 - 3 \cdot 1{,}5 + 2 = 2{,}25 - 4{,}5 + 2 = -0{,}25 $$ Вершина находится в точке $(1{,}5; -0{,}25)$. Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x_1 = 1$, $x_2 = 2$, то есть точки $(1; 0)$ и $(2; 0)$. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; 2)$. Так как знак неравенства строгий ($<$), параболу строим пунктирной линией (сама граница не входит в решение). 2. Возьмём контрольную точку $(0; 0)$: $$ 0 < 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 \implies 0 < 2 \quad \text{(верно)} $$ Точка $(0; 0)$ лежит ниже параболы. **Ответ:** Открытая область координатной плоскости, расположенная строго ниже параболы $y = x^2 - 3x + 2$ (без самой параболы). --- ### 4) \( x^2 + y^2 - 2x + 4y \ge 4 \) 1. Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты: $$ (x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 \ge 4 $$ $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 \ge 4 $$ $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 \ge 9 $$ 2. Границей является окружность: $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3^2 $$ Центр окружности — точка $C(1; -2)$, радиус $R = 3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), окружность строим сплошной линией. 3. Проверим точку центра $C(1; -2)$: $$ (1 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 \ge 9 \implies 0 \ge 9 \quad \text{(неверно)} $$ Значит, внутренняя область круга не является решением. **Ответ:** Множество точек плоскости, лежащих на окружности с центром $(1; -2)$ и радиусом $R = 3$, а также вне этой окружности (внешняя часть круга вместе с границей). --- ### 5) \( xy < 5 \) 1. Границей служит гипербола: $$ xy = 5 \iff y = \frac{5}{x} $$ Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Точки для построения: $(1; 5)$, $(5; 1)$, $(-1; -5)$, $(-5; -1)$. Так как неравенство строгое ($<$), ветви гиперболы изображаются пунктирной линией. 2. Проверим начало координат $(0; 0)$: $$ 0 \cdot 0 < 5 \implies 0 < 5 \quad \text{(верно)} $$ Неравенство выполняется в области, содержащей начало координат. Аналитически это означает: - при $x > 0$: $y < \frac{5}{x}$ (область под правой ветвью гиперболы); - при $x < 0$: $y > \frac{5}{x}$ (область над левой ветвью гиперболы); - при $x = 0$: $0 \cdot y = 0 < 5$ (вся ось ординат входит в решение). **Ответ:** Полоса плоскости, заключённая между двумя ветвями гиперболы $y = \frac{5}{x}$ (включая координатные оси, но исключая сами ветви гиперболы). --- ### 6) \( y \ge \frac{x-1}{x+1} \) 1. Преобразуем дробно-линейную функцию для построения границы: $$ y = \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1} $$ График — гипербола со смещённым центром: - вертикальная асимптота: $x = -1$ (знаменатель равен нулю, точки прямой не входят в область определения); - горизонтальная асимптота: $y = 1$. Характерные точки графика: при $x = 0 \implies y = -1$; при $y = 0 \implies x = 1$; при $x = -2 \implies y = 3$; при $x = -3 \implies y = 2$; при $x = 3 \implies y = 0{,}5$. Ветви гиперболы строятся сплошной линией (знак $\ge$), а вертикальная асимптота $x = -1$ пунктиром, так как выражение при $x = -1$ не определено. 2. Для любого допустимого $x \ne -1$ неравенство задаёт значения $y$, которые больше либо равны значениям функции: - при $x > -1$: область лежит на правой ветви гиперболы и выше неё; - при $x < -1$: область лежит на левой ветви гиперболы и выше неё. Проверка точкой $(0; 0)$: $$ 0 \ge \frac{0 - 1}{0 + 1} \implies 0 \ge -1 \quad \text{(верно)} $$ Точка $(0; 0)$ входит в решение. **Ответ:** Область координатной плоскости, расположенная на ветвях гиперболы $y = \frac{x-1}{x+1}$ и выше них, за исключением точек вертикальной прямой $x = -1$.