ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.38

**1)** Решим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} x+y+xy=-1,\\ x^{2}+xy+y^{2}=3. \end{array}\right. $$ Данная система является симметрической. Введем замену переменных: $$ u = x + y, \quad v = xy. $$ Выразим выражение $x^2 + xy + y^2$ через новые переменные: $$ x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy = u^2 - v. $$ Запишем систему относительно $u$ и $v$: $$ \left\{ \begin{array}{l} u + v = -1,\\ u^2 - v = 3. \end{array}\right. $$ Из первого уравнения выразим $v$: $$ v = -1 - u. $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ u^2 - (-1 - u) = 3; $$ $$ u^2 + u + 1 - 3 = 0; $$ $$ u^2 + u - 2 = 0. $$ Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета или через дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; $$ $$ u_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad u_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2. $$ Найдем соответствующие значения $v$: 1) При $u_1 = 1$: $$ v_1 = -1 - 1 = -2. $$ 2) При $u_2 = -2$: $$ v_2 = -1 - (-2) = 1. $$ Вернемся к переменным $x$ и $y$. **Случай 1:** $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1,\\ xy = -2. \end{array}\right. $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - t - 2 = 0$: $$ (t - 2)(t + 1) = 0 \implies t_1 = 2, \quad t_2 = -1. $$ Отсюда получаем две пары решений: $(2; -1)$ и $(-1; 2)$. **Случай 2:** $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = -2,\\ xy = 1. \end{array}\right. $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 2t + 1 = 0$: $$ (t + 1)^2 = 0 \implies t = -1. $$ Отсюда получаем пару решений: $(-1; -1)$. Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$, $(-1; -1)$. --- **2)** Решим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} 2x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3}=36,\\ 2x^{2}y-xy^{2}=6. \end{array}\right. $$ Вынесем общие множители за скобки в левой части каждого уравнения: $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2y^2(2x - y) = 36,\\ xy(2x - y) = 6. \end{array}\right. $$ Перепишем первое уравнение в виде $(xy)^2(2x - y) = 36$. Введем замену переменных: пусть $a = xy$ и $b = 2x - y$. Получаем систему: $$ \left\{ \begin{array}{l} a^2b = 36,\\ ab = 6. \end{array}\right. $$ Так как $ab = 6 \neq 0$, то $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе: $$ \frac{a^2b}{ab} = \frac{36}{6}; $$ $$ a = 6. $$ Подставим значение $a = 6$ во второе уравнение $ab = 6$: $$ 6b = 6 \implies b = 1. $$ Вернемся к переменным $x$ и $y$: $$ \left\{ \begin{array}{l} xy = 6,\\ 2x - y = 1. \end{array}\right. $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 2x - 1. $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x(2x - 1) = 6; $$ $$ 2x^2 - x - 6 = 0. $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2; $$ $$ x_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2; $$ $$ x_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5. $$ Найдем соответствующие значения $y$: 1) При $x_1 = 2$: $$ y_1 = 2 \cdot 2 - 1 = 3. $$ 2) При $x_2 = -1{,}5$: $$ y_2 = 2 \cdot (-1{,}5) - 1 = -3 - 1 = -4. $$ Ответ: $(2; 3)$, $(-1{,}5; -4)$.