ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.36

### 1) Дана система уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{y^2 + xy} = \frac{13}{6}, \\ & \frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{y^2 + xy} = 1. \end{aligned} \right. $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 + xy \neq 0$ и $y^2 + xy \neq 0$, то есть $x(x + y) \neq 0$ и $y(x + y) \neq 0$. Введём новые переменные: $$ u = \frac{1}{x^2 + xy}, \quad v = \frac{1}{y^2 + xy}. $$ Подставим их в исходную систему: $$ \left\{ \begin{aligned} & 5u + 4v = \frac{13}{6}, \\ & 8u - v = 1. \end{aligned} \right. $$ Из второго уравнения выразим $v$: $$ v = 8u - 1. $$ Подставим выражение для $v$ в первое уравнение: $$ 5u + 4(8u - 1) = \frac{13}{6}, $$ $$ 5u + 32u - 4 = \frac{13}{6}, $$ $$ 37u = \frac{13}{6} + 4, $$ $$ 37u = \frac{37}{6} \implies u = \frac{1}{6}. $$ Найдём значение $v$: $$ v = 8 \cdot \frac{1}{6} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}. $$ Вернёмся к переменным $x$ и $y$: $$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1}{6}, \\ & \frac{1}{y^2 + xy} = \frac{1}{3}, \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} & x(x + y) = 6, \\ & y(x + y) = 3. \end{aligned} \right. $$ Сложим эти два уравнения: $$ x(x + y) + y(x + y) = 6 + 3, $$ $$ (x + y)(x + y) = 9, $$ $$ (x + y)^2 = 9. $$ Отсюда получаем два возможных случая: $x + y = 3$ или $x + y = -3$. **Случай 1:** $x + y = 3$. Подставим значение $(x + y)$ в уравнения системы: $$ \left\{ \begin{aligned} & 3x = 6 \implies x = 2, \\ & 3y = 3 \implies y = 1. \end{aligned} \right. $$ **Случай 2:** $x + y = -3$. Подставим значение $(x + y)$ в уравнения системы: $$ \left\{ \begin{aligned} & -3x = 6 \implies x = -2, \\ & -3y = 3 \implies y = -1. \end{aligned} \right. $$ Обе найденные пары удовлетворяют ОДЗ. **Ответ к пункту 1:** $(2; 1), (-2; -1)$. --- ### 2) Дана система уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14}, \\ & \frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}. \end{aligned} \right. $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 + 3xy \neq 0$ и $y^2 - xy \neq 0$. Введём новые переменные: $$ u = \frac{1}{x^2 + 3xy}, \quad v = \frac{1}{y^2 - xy}. $$ Получаем линейную систему относительно $u$ и $v$: $$ \left\{ \begin{aligned} & 2u + 3v = \frac{25}{14}, \\ & 3u - 2v = -\frac{4}{7}. \end{aligned} \right. $$ Умножим первое уравнение на $2$, а второе на $3$: $$ \left\{ \begin{aligned} & 4u + 6v = \frac{25}{7}, \\ & 9u - 6v = -\frac{12}{7}. \end{aligned} \right. $$ Сложим полученные уравнения: $$ 13u = \frac{25}{7} - \frac{12}{7}, $$ $$ 13u = \frac{13}{7} \implies u = \frac{1}{7}. $$ Подставим $u = \frac{1}{7}$ в первое уравнение: $$ 2 \cdot \frac{1}{7} + 3v = \frac{25}{14}, $$ $$ 3v = \frac{25}{14} - \frac{4}{14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} \implies v = \frac{1}{2}. $$ Вернёмся к переменным $x$ и $y$: $$ \left\{ \begin{aligned} & x^2 + 3xy = 7, \\ & y^2 - xy = 2. \end{aligned} \right. $$ Решим эту однородную систему второй степени методом уравнивания свободных членов. Умножим первое уравнение на $2$, а второе на $7$: $$ \left\{ \begin{aligned} & 2x^2 + 6xy = 14, \\ & 7y^2 - 7xy = 14. \end{aligned} \right. $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ 2x^2 + 13xy - 7y^2 = 0. $$ Так как $y \neq 0$ (при $y = 0$ второе уравнение $y^2 - xy = 2$ не имеет решений), разделим обе части уравнения на $y^2$: $$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 13\left(\frac{x}{y}\right) - 7 = 0. $$ Пусть $k = \frac{x}{y}$, тогда: $$ 2k^2 + 13k - 7 = 0. $$ Дискриминант: $$ D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2, $$ $$ k_1 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{1}{2}, \quad k_2 = \frac{-13 - 15}{4} = -7. $$ Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$. Подставим во второе уравнение $y^2 - xy = 2$: $$ (2x)^2 - x(2x) = 2, $$ $$ 4x^2 - 2x^2 = 2, $$ $$ 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1. $$ Получаем: - Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$. - Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$. **Случай 2:** $\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$. Подставим во второе уравнение $y^2 - xy = 2$: $$ y^2 - (-7y)y = 2, $$ $$ y^2 + 7y^2 = 2, $$ $$ 8y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{4}. $$ Получаем: - Если $y_3 = \frac{1}{2}$, то $x_3 = -7 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$. - Если $y_4 = -\frac{1}{2}$, то $x_4 = -7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{2}$. Все четыре пары значений удовлетворяют ОДЗ. **Ответ к пункту 2:** $(1; 2), (-1; -2), \left(-\frac{7}{2}; \frac{1}{2}\right), \left(\frac{7}{2}; -\frac{1}{2}\right)$.