ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.8

**1) $x^2 - x - 9 < 0$** Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 9 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37 $$ $$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{37}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} $$ *Способ 1 (графический).* Рассмотрим функцию $y = x^2 - x - 9$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x_1$ и $x_2$. Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) там, где график лежит ниже оси $Ox$, то есть между корнями: $$ x \in \left(\frac{1 - \sqrt{37}}{2}; \frac{1 + \sqrt{37}}{2}\right) $$ *Способ 2 (метод интервалов).* Разложим левую часть на множители: $$ \left(x - \frac{1 - \sqrt{37}}{2}\right)\left(x - \frac{1 + \sqrt{37}}{2}\right) < 0 $$ Отметим нули функции на числовой прямой и определим знаки на получившихся интервалах: - при $x > \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$ выражение положительно ($+$); - при $\frac{1 - \sqrt{37}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$ выражение отрицательно ($-$). Ответ: $\left(\frac{1 - \sqrt{37}}{2}; \frac{1 + \sqrt{37}}{2}\right)$. --- **2) $6x^2 - 7x + 2 > 0$** Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 7x + 2 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$ *Способ 1 (графический).* График функции $y = 6x^2 - 7x + 2$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 6 > 0$). Значения функции строго больше нуля ($y > 0$) на промежутках, расположенных вне корней (где парабола выше оси $Ox$). *Способ 2 (метод интервалов).* Разложим трехчлен на множители: $$ 6\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{2}{3}\right) > 0 $$ Разделим на $6$: $$ \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{2}{3}\right) > 0 $$ Расставим знаки на интервалах: на $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)$ — плюс, на $\left(\frac{1}{2}; \frac{2}{3}\right)$ — минус, на $\left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$ — плюс. Выбираем промежутки со знаком «$+$». Ответ: $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$. --- **3) $-x^2 - 2x + 48 < 0$** *Способ 1 (графический).* Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 2x + 48$. Найдем нули функции: $$ -x^2 - 2x + 48 = 0 \iff x^2 + 2x - 48 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$. График — парабола, ветви направлены вниз ($a = -1 < 0$). График лежит ниже оси $Ox$ ($y < 0$) вне отрезка между корнями: при $x < -8$ и $x > 6$. *Способ 2 (метод интервалов).* Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 + 2x - 48 > 0 $$ Разложим на множители: $$ (x + 8)(x - 6) > 0 $$ Нанесем точки $-8$ и $6$ на координатную прямую. Знаки на интервалах справа налево чередуются: $+$, $-$, $+$. Неравенство строго больше нуля на интервалах со знаком «$+$». Ответ: $(-\infty; -8) \cup (6; +\infty)$. --- **4) $8x^2 + 10x - 3 \geqslant 0$** Найдем корни уравнения $8x^2 + 10x - 3 = 0$: $$ D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2 $$ $$ x_1 = \frac{-10 - 14}{16} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ *Способ 1 (графический).* Ветви параболы $y = 8x^2 + 10x - 3$ направлены вверх ($a = 8 > 0$). Значения функции неотрицательны ($y \geqslant 0$) вне корней и в самих точках пересечения с осью $Ox$. *Способ 2 (метод интервалов).* Разложим левую часть на множители: $$ 8(x + 1{,}5)(x - 0{,}25) \geqslant 0 \iff (x + 1{,}5)(x - 0{,}25) \geqslant 0 $$ Точки $x = -1{,}5$ и $x = 0{,}25$ разбивают числовую прямую на промежутки. Определяем знаки: плюс на $(-\infty; -1{,}5]$, минус на $[-1{,}5; 0{,}25]$, плюс на $[0{,}25; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; -1{,}5] \cup [0{,}25; +\infty)$. --- **5) $25x^2 - 10x + 1 \geqslant 0$** *Способ 1 (графический).* Рассмотрим функцию $y = 25x^2 - 10x + 1 = (5x - 1)^2$. Ветви параболы направлены вверх ($a = 25 > 0$). Уравнение $(5x - 1)^2 = 0$ имеет один корень $x = \frac{1}{5} = 0{,}2$. Парабола касается оси $Ox$ в точке $(0{,}2; 0)$ и не опускается ниже оси. Следовательно, $y \geqslant 0$ при любых значениях $x$. *Способ 2 (с помощью свойств квадрата).* Свернем выражение по формуле квадрата разности: $$ (5x - 1)^2 \geqslant 0 $$ Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. Ответ: $(-\infty; +\infty)$. --- **6) $49x^2 - 28x + 4 < 0$** *Способ 1 (графический).* Рассмотрим функцию $y = 49x^2 - 28x + 4 = (7x - 2)^2$. График — парабола с ветвями вверх ($a = 49 > 0$), касающаяся оси $Ox$ в точке $x = \frac{2}{7}$. Так как вся парабола лежит выше оси $Ox$ или касается её, точек, где $y < 0$, нет. *Способ 2 (с помощью свойств квадрата).* Запишем неравенство в виде: $$ (7x - 2)^2 < 0 $$ Поскольку квадрат действительного числа не может быть строго меньше нуля ($(7x - 2)^2 \geqslant 0$ для всех $x$), неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет ($\varnothing$). --- **7) $-x^2 - 12x - 100 \leqslant 0$** *Способ 1 (графический).* Рассмотрим функцию $y = -x^2 - 12x - 100$. Ветви параболы направлены вниз ($a = -1 < 0$). Найдем дискриминант: $$ D = (-12)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-100) = 144 - 400 = -256 < 0 $$ Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось $Ox$ и полностью лежит ниже неё, то есть $y < 0$ для всех действительных $x$. Значит, условие $y \leqslant 0$ выполняется при всех $x$. *Способ 2 (выделение полного квадрата).* Умножим обе части неравенства на $-1$: $$ x^2 + 12x + 100 \geqslant 0 $$ Выделим полный квадрат: $$ (x^2 + 2 \cdot 6x + 36) + 64 \geqslant 0 $$ $$ (x + 6)^2 + 64 \geqslant 0 $$ Так как $(x + 6)^2 \geqslant 0$ для любого $x$, то сумма $(x + 6)^2 + 64 \geqslant 64 > 0$ всегда положительна. Следовательно, неравенство верно при всех действительных $x$. Ответ: $(-\infty; +\infty)$. --- **8) $4x^2 - 4x + 15 \leqslant 0$** *Способ 1 (графический).* Рассмотрим функцию $y = 4x^2 - 4x + 15$. Ветви направлены вверх ($a = 4 > 0$). Найдем дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 16 - 240 = -224 < 0 $$ Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось $Ox$ и целиком расположена строго выше оси ($y > 0$). Следовательно, значений $x$, при которых $y \leqslant 0$, не существует. *Способ 2 (выделение полного квадрата).* Преобразуем выражение в левой части: $$ (4x^2 - 4x + 1) + 14 \leqslant 0 $$ $$ (2x - 1)^2 + 14 \leqslant 0 $$ Так как $(2x - 1)^2 \geqslant 0$, то наименьшее возможное значение левой части равно $14$. Неравенство $14 \leqslant 0$ ложно, поэтому решений нет. Ответ: решений нет ($\varnothing$). --- **9) $5x^2 + 3x - 8 > 0$** Найдем корни уравнения $5x^2 + 3x - 8 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 13}{10} = \frac{-16}{10} = -1{,}6, \quad x_2 = \frac{-3 + 13}{10} = \frac{10}{10} = 1 $$ *Способ 1 (графический).* Ветви параболы $y = 5x^2 + 3x - 8$ направлены вверх ($a = 5 > 0$). График расположен выше оси $Ox$ ($y > 0$) слева от меньшего корня и справа от большего: $x < -1{,}6$ или $x > 1$. *Способ 2 (метод интервалов).* Разложим трехчлен на множители: $$ 5(x + 1{,}6)(x - 1) > 0 \iff (x + 1{,}6)(x - 1) > 0 $$ Отметим на координатной прямой выколотые точки $-1{,}6$ и $1$. Знаки выражения на интервалах справа налево: $+$, $-$, $+$. Нам подходят промежутки со знаком «$+$»: $(-\infty; -1{,}6)$ и $(1; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; -1{,}6) \cup (1; +\infty)$.