ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.7

**1)** $x^2 - 3x - 4 < 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 3x - 4$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 1 > 0$. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$, решив уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1; \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$ Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-1; 0)$ и $(4; 0)$. Неравенству $y < 0$ соответствуют те значения $x$, при которых точки параболы лежат ниже оси $Ox$. Так как ветви направлены вверх, график находится строго ниже оси $Ox$ между корнями. Ответ: $(-1; 4)$ --- **2)** $x^2 - 3x - 4 > 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 3x - 4$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$). Нули функции найдены в предыдущем пункте из уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$: $$ x_1 = -1; \quad x_2 = 4 $$ Неравенству $y > 0$ соответствуют те значения $x$, при которых точки параболы расположены выше оси $Ox$. Поскольку ветви направлены вверх, парабола находится выше оси $Ox$ слева от меньшего корня и справа от большего корня. Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$ --- **3)** $2x^2 + 3x - 5 \geqslant 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = 2x^2 + 3x - 5$. График — парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a = 2 > 0$. Найдем нули функции: $$ 2x^2 + 3x - 5 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $$ Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-2{,}5; 0)$ и $(1; 0)$. Неравенству $y \geqslant 0$ соответствуют точки параболы, лежащие выше оси $Ox$ или на ней. Для параболы с ветвями вверх это интервалы вне корней, включая сами нули функции. Ответ: $(-\infty; -2{,}5] \cup [1; +\infty)$ --- **4)** $-6x^2 + 6x + 36 \geqslant 0$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = -6x^2 + 6x + 36$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -6 < 0$. Найдем нули функции: $$ -6x^2 + 6x + 36 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-6$: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -2; \quad x_2 = 3 $$ Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-2; 0)$ и $(3; 0)$. Неравенству $y \geqslant 0$ соответствуют значения $x$, при которых парабола лежит выше оси $Ox$ или на ней. Так как ветви параболы направлены вниз, график расположен выше оси $Ox$ между нулями функции, включая точки пересечения. Ответ: $[-2; 3]$