ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.6

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$ По теореме Виета сумма и произведение корней приведенного квадратного уравнения равны: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 x_2 = 6 \end{cases} $$ Подбираем два числа, произведение которых равно $6$, а сумма равна $5$. Это числа $2$ и $3$: $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$. Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. 2) $4x^2 - 12x + 9 = 0$ Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение: $$ x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 x_2 = \dfrac{9}{4} \end{cases} $$ Заметим, что если взять два равных корня $x_1 = x_2 = \dfrac{3}{2}$, то: $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3$, $\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}$. Уравнение имеет один корень кратности 2 (два совпадающих корня). Ответ: $x_1 = x_2 = 1{,}5$. 3) $x^2 + 2x - 24 = 0$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 x_2 = -24 \end{cases} $$ Так как произведение отрицательно, корни имеют разные знаки. Подбираем множители числа $-24$, дающие в сумме $-2$: $-6 + 4 = -2$, $-6 \cdot 4 = -24$. Ответ: $x_1 = -6$, $x_2 = 4$. 4) $x^2 + 9x + 14 = 0$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -9 \\ x_1 x_2 = 14 \end{cases} $$ Так как произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательны. Подбираем числа: $-7 + (-2) = -9$, $-7 \cdot (-2) = 14$. Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = -2$. 5) $x^2 - 7ax + 12a^2 = 0$ По теореме Виета относительно переменной $x$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7a \\ x_1 x_2 = 12a^2 \end{cases} $$ Подбираем слагаемые, содержащие параметр $a$: $3a + 4a = 7a$, $3a \cdot 4a = 12a^2$. Ответ: $x_1 = 3a$, $x_2 = 4a$. 6) $x^2 + 5bx + 6b^2 = 0$ По теореме Виета относительно переменной $x$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -5b \\ x_1 x_2 = 6b^2 \end{cases} $$ Подбираем слагаемые: $(-2b) + (-3b) = -5b$, $(-2b) \cdot (-3b) = 6b^2$. Ответ: $x_1 = -2b$, $x_2 = -3b$. 7) $x^2 - \left(\sqrt{2} + 1\right)x + \sqrt{2} = 0$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = \sqrt{2} + 1 \\ x_1 x_2 = \sqrt{2} \end{cases} $$ Из структуры коэффициентов непосредственно видно, что искомые числа — это $1$ и $\sqrt{2}$: $1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} + 1$, $1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \sqrt{2}$. 8) $x^2 + \left(\sqrt{2} + \sqrt{6}\right)x + 2\sqrt{3} = 0$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -\left(\sqrt{2} + \sqrt{6}\right) \\ x_1 x_2 = 2\sqrt{3} \end{cases} $$ Проверим числа $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{6}$: Сумма: $(-\sqrt{2}) + (-\sqrt{6}) = -(\sqrt{2} + \sqrt{6})$. Произведение: $(-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{6}) = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Оба условия теоремы Виета выполняются. Ответ: $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{6}$.