ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.10

**1)** Решим неравенство: $3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства и приведём подобные: $$ 3x^2 + x^2 + 40x - 11x + 10 - 3 < 0 $$ $$ 4x^2 + 29x + 7 < 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $4x^2 + 29x + 7 = 0$: $$ D = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729 = 27^2 $$ $$ x_1 = \frac{-29 - 27}{2 \cdot 4} = \frac{-56}{8} = -7 $$ $$ x_2 = \frac{-29 + 27}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0{,}25 $$ Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $4 > 0$), выражение меньше нуля строго между корнями: $$ x \in (-7; -0{,}25) $$ Ответ: $(-7; -0{,}25)$. --- **2)** Решим неравенство: $9x^2 - x + 9 \geqslant 3x^2 + 18x - 6$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 9x^2 - 3x^2 - x - 18x + 9 + 6 \geqslant 0 $$ $$ 6x^2 - 19x + 15 \geqslant 0 $$ Найдём корни уравнения $6x^2 - 19x + 15 = 0$: $$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{19 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{19 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} $$ Ветви параболы направлены вверх ($6 > 0$), неравенство нестрогое ($\geqslant 0$), поэтому решения лежат вне интервала между корнями, включая сами корни: $$ x \in (-\infty; 1{,}5] \cup \left[\frac{5}{3}; +\infty\right) $$ Ответ: $(-\infty; 1{,}5] \cup \left[\frac{5}{3}; +\infty\right)$. --- **3)** Решим неравенство: $2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)$ Раскроем скобки в правой части: $$ (3x - 5)(2x + 6) = 6x^2 + 18x - 10x - 30 = 6x^2 + 8x - 30 $$ Подставим полученное выражение: $$ 2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30 $$ Перенесём все члены в левую часть: $$ 2x^2 - 6x^2 + 8x - 8x - 111 + 30 < 0 $$ $$ -4x^2 - 81 < 0 $$ Разделим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ 4x^2 + 81 > 0 $$ Так как $4x^2 \geqslant 0$ при любом действительном $x$, то $4x^2 + 81 \geqslant 81 > 0$ выполняется всегда. Ответ: $(-\infty; +\infty)$. --- **4)** Решим неравенство: $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)$ Раскроем скобки в обеих частях: $$ 15x^2 - 5x + 3x - 1 > 4x^2 + 8x - x - 2 $$ $$ 15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2 $$ Перенесём все члены в левую часть: $$ 15x^2 - 4x^2 - 2x - 7x - 1 + 2 > 0 $$ $$ 11x^2 - 9x + 1 > 0 $$ Найдём корни уравнения $11x^2 - 9x + 1 = 0$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37 $$ $$ x_1 = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}, \quad x_2 = \frac{9 + \sqrt{37}}{22} $$ Ветви параболы направлены вверх ($11 > 0$), знак неравенства $> 0$, следовательно, решением являются промежутки вне корней: $$ x \in \left(-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty\right) $$ Ответ: $\left(-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}\right) \cup \left(\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty\right)$. --- **5)** Решим неравенство: $2x(3x - 1) > 4x^2 + 5x + 9$ Раскроем скобки в левой части: $$ 6x^2 - 2x > 4x^2 + 5x + 9 $$ Перенесём слагаемые в левую часть: $$ 6x^2 - 4x^2 - 2x - 5x - 9 > 0 $$ $$ 2x^2 - 7x - 9 > 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4{,}5 $$ Так как ветви параболы направлены вверх ($2 > 0$) и знак неравенства строго больше нуля: $$ x \in (-\infty; -1) \cup (4{,}5; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4{,}5; +\infty)$. --- **6)** Решим неравенство: $(5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x - 13$ Раскроем скобки в левой части: $$ 5x^2 - 10x + 7x - 14 < 21x^2 - 11x - 13 $$ $$ 5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x - 13 $$ Перенесём всё в левую часть: $$ 5x^2 - 21x^2 - 3x + 11x - 14 + 13 < 0 $$ $$ -16x^2 + 8x - 1 < 0 $$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $$ 16x^2 - 8x + 1 > 0 $$ Свернём левую часть по формуле квадрата разности: $$ (4x - 1)^2 > 0 $$ Квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(4x - 1)^2 \geqslant 0$. Неравенство строго больше нуля выполняется при всех $x$, кроме случая, когда выражение обращается в ноль: $$ 4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x = 0{,}25 $$ Таким образом, решением является любое число, кроме $0{,}25$: $$ x \in (-\infty; 0{,}25) \cup (0{,}25; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; 0{,}25) \cup (0{,}25; +\infty)$.