ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.45

### 1) $y = x^2 + 2$ 1. **Область определения:** выражение определено при любых действительных значениях аргумента: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Область значений:** так как $x^2 \geqslant 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $x^2 + 2 \geqslant 2$: $$ E(y) = [2; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** $$ x^2 + 2 = 0 \iff x^2 = -2 $$ Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, нулей нет. 4. **Точки разрыва:** функция непрерывна на всей области определения, точек разрыва нет. 5. **Промежутки возрастания и убывания:** График функции — парабола с вершиной в точке $(0; 2)$, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$): * функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$; * функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$; * значений $x$, при которых $y < 0$, нет. 7. **Построение графика:** Парабола получается параллельным переносом графика $y = x^2$ вдоль оси ординат на $2$ единицы вверх. Контрольные точки: $(-2; 6)$, $(-1; 3)$, $(0; 2)$ — вершина, $(1; 3)$, $(2; 6)$. --- ### 2) $y = 3 - 4x^2$ 1. **Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Область значений:** ветви параболы направлены вниз ($a = -4 < 0$), наивысшая точка находится в вершине $(0; 3)$: $$ E(y) = (-\infty; 3] $$ 3. **Нули функции:** $$ 3 - 4x^2 = 0 \iff x^2 = \frac{3}{4} \iff x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 4. **Точки разрыва:** точек разрыва нет. 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$; * функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$; * $y < 0$ при $x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty\right)$. 7. **Построение графика:** Парабола с вершиной в точке $(0; 3)$, ветви направлены вниз. Контрольные точки: $(-1; -1)$, $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$, $(0; 3)$, $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$, $(1; -1)$. --- ### 3) $y = 3x^2 - 6x + 1$ 1. **Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Область значений:** Координаты вершины параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1 $$ $$ y_0 = y(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = -2 $$ Так как $a = 3 > 0$, ветви направлены вверх: $$ E(y) = [-2; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** $$ 3x^2 - 6x + 1 = 0 $$ $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24 $$ $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3} $$ 4. **Точки разрыва:** точек разрыва нет. 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$; * функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in \left(-\infty; \frac{3 - \sqrt{6}}{3}\right) \cup \left(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}; +\infty\right)$; * $y < 0$ при $x \in \left(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}; \frac{3 + \sqrt{6}}{3}\right)$. 7. **Построение графика:** Парабола с вершиной в точке $(1; -2)$, ветви направлены вверх. Контрольные точки: $(0; 1)$, $(1; -2)$, $(2; 1)$, $(-1; 10)$, $(3; 10)$. --- ### 4) $y = \frac{5}{x - 2}$ 1. **Область определения:** знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x - 2 \neq 0$): $$ D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) $$ 2. **Область значений:** числитель дроби отличен от нуля, поэтому значение функции не может равняться нулю: $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** числитель $5 \neq 0$, следовательно, нулей функции нет. 4. **Точки разрыва:** $x = 2$ — точка бесконечного разрыва (вертикальная асимптота $x = 2$). 5. **Промежутки возрастания и убывания:** Так как коэффициент в числителе положителен ($5 > 0$): * функция убывает на промежутке $(-\infty; 2)$; * функция убывает на промежутке $(2; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x - 2 > 0 \iff x \in (2; +\infty)$; * $y < 0$ при $x - 2 < 0 \iff x \in (-\infty; 2)$. 7. **Построение графика:** График представляет собой гиперболу, смещенную на $2$ единицы вправо относительно начала координат. Асимптоты: $x = 2$ и $y = 0$. Контрольные точки: $(-3; -1)$, $(0; -2{,}5)$, $(1; -5)$, $(3; 5)$, $(4; 2{,}5)$, $(7; 1)$. --- ### 5) $y = \frac{x}{x + 1}$ 1. **Область определения:** знаменатель дроби не равен нулю ($x + 1 \neq 0$): $$ D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) $$ 2. **Область значений:** Выделим целую часть: $$ y = \frac{x + 1 - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1} $$ Так как $\frac{1}{x + 1} \neq 0$, то $y \neq 1$: $$ E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** $$ \frac{x}{x + 1} = 0 \iff x = 0 $$ 4. **Точки разрыва:** $x = -1$ — точка бесконечного разрыва (вертикальная асимптота $x = -1$, горизонтальная асимптота $y = 1$). 5. **Промежутки возрастания и убывания:** Функция вида $y = 1 - \frac{1}{x + 1}$: * возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$; * возрастает на промежутке $(-1; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** Применяя метод интервалов к неравенству $\frac{x}{x + 1} > 0$: * $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-1; 0)$. 7. **Построение графика:** Гипербола с асимптотами $x = -1$ и $y = 1$. Контрольные точки: $(-3; 1{,}5)$, $(-2; 2)$, $(0; 0)$, $(1; 0{,}5)$, $(3; 0{,}75)$. --- ### 6) $y = \frac{x + 1}{x}$ 1. **Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Область значений:** $$ y = 1 + \frac{1}{x} $$ Так как $\frac{1}{x} \neq 0$, то: $$ E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** $$ \frac{x + 1}{x} = 0 \iff x + 1 = 0 \iff x = -1 $$ 4. **Точки разрыва:** $x = 0$ — точка бесконечного разрыва (вертикальная асимптота $x = 0$, горизонтальная асимптота $y = 1$). 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$; * функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-1; 0)$. 7. **Построение графика:** Гипербола с асимптотами $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = 1$. Контрольные точки: $(-2; 0{,}5)$, $(-1; 0)$, $\left(-\frac{1}{2}; -1\right)$, $\left(\frac{1}{2}; 3\right)$, $(1; 2)$, $(2; 1{,}5)$. --- ### 7) $y = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ 1. **Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Область значений:** * при $x < 0$: $y = -x^2 \in (-\infty; 0)$; * при $x \geqslant 0$: $y = x - 1 \in [-1; +\infty)$. Объединяя промежутки, получаем: $$ E(y) = (-\infty; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** * при $x < 0$: $-x^2 = 0 \implies x = 0$ (не входит в промежуток $x < 0$); * при $x \geqslant 0$: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ ($1 \geqslant 0$). Нуль функции: $x = 1$. 4. **Точки разрыва:** Исследуем поведение функции в точке стыка $x = 0$: $$ \lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2) = 0 $$ $$ \lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 1) = -1 = y(0) $$ Пределы слева и справа конечны, но не равны, следовательно, $x = 0$ — точка разрыва первого рода (скачок функции). 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$; * функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$. 7. **Построение графика:** * при $x < 0$ строим левую ветвь параболы $y = -x^2$ с выколотой точкой $(0; 0)$; * при $x \geqslant 0$ строим луч прямой $y = x - 1$, начинающийся из закрашенной точки $(0; -1)$ и проходящий через точки $(1; 0)$ и $(2; 1)$. --- ### 8) $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \geqslant 0, \\ \frac{1}{x - 1}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ 1. **Область определения:** При $x < 0$ знаменатель $x - 1 < -1 \neq 0$, при $x \geqslant 0$ функция определена везде: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. **Область значений:** * при $x < 0$: так как $x - 1 \in (-\infty; -1)$, то $\frac{1}{x - 1} \in (-1; 0)$; * при $x \geqslant 0$: $x^2 \in [0; +\infty)$. Объединяя промежутки: $$ E(y) = (-1; +\infty) $$ 3. **Нули функции:** * при $x < 0$: $\frac{1}{x - 1} \neq 0$; * при $x \geqslant 0$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Нуль функции: $x = 0$. 4. **Точки разрыва:** Исследуем точку стыка $x = 0$: $$ \lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x - 1} = -1 $$ $$ \lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 = y(0) $$ Так как односторонние пределы конечны и различны, $x = 0$ — точка разрыва первого рода (скачок функции). 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$; * функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. 6. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 7. **Построение графика:** * при $x < 0$ строим часть гиперболы $y = \frac{1}{x - 1}$, стремящуюся к $y = 0$ при $x \to -\infty$ и подходящую к выколотой точке $(0; -1)$; * при $x \geqslant 0$ строим правую ветвь параболы $y = x^2$, начинающуюся из закрашенной точки $(0; 0)$ и проходящую через точки $(1; 1)$ и $(2; 4)$.