ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.47

1) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 6 < 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1, \\ x_1 \cdot x_2 = -6. \end{cases} $$ Отсюда $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Разложим трехчлен на множители: $(x + 3)(x - 2) < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$), ветви параболы направлены вверх, и выражение меньше нуля между корнями: $x \in (-3; 2)$. Решим второе неравенство системы: $-x^2 + 2x + 3 > 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2, \\ x_1 \cdot x_2 = -3. \end{cases} $$ Отсюда $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Разложим на множители: $(x + 1)(x - 3) < 0$. Решением данного неравенства является интервал между корнями: $x \in (-1; 3)$. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $$ x \in (-3; 2) \cap (-1; 3) = (-1; 2). $$ **Ответ к пункту 1:** $x \in (-1; 2)$. --- 2) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $x^2 + 4x - 5 > 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4, \\ x_1 \cdot x_2 = -5. \end{cases} $$ Отсюда $x_1 = -5$, $x_2 = 1$. Разложим трехчлен на множители: $(x + 5)(x - 1) > 0$. Так как знак неравенства $>$, решениями являются промежутки вне корней: $x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$. Решим второе неравенство системы: $x^2 - 2x - 8 < 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2, \\ x_1 \cdot x_2 = -8. \end{cases} $$ Отсюда $x_1 = -2$, $x_2 = 4$. Разложим на множители: $(x + 2)(x - 4) < 0$. Так как знак неравенства $<$, решением является промежуток между корнями: $x \in (-2; 4)$. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $$ x \in \Big((-\infty; -5) \cup (1; +\infty)\Big) \cap (-2; 4). $$ Промежуток $(-\infty; -5)$ не имеет общих точек с $(-2; 4)$, так как $-5 < -2$. Для промежутка $(1; +\infty)$ получаем: $(1; +\infty) \cap (-2; 4) = (1; 4)$. Следовательно, общим решением является: $x \in (1; 4)$. **Ответ к пункту 2:** $x \in (1; 4)$.