ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.46

Рассмотрим квадратный трёхчлен в левой части неравенства: $$ f(x) = x^2 - (a^2 - 2a - 3)x - a^3 + 3a + 2 $$ Разложим свободный член на множители: $$ -a^3 + 3a + 2 = -(a^3 - 3a - 2) = -(a^3 + a^2 - a^2 - a - 2a - 2) = -(a + 1)(a^2 - a - 2) = -(a + 1)^2(a - 2) $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $f(x) = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = a^2 - 2a - 3 \\ x_1 x_2 = -(a + 1)^2(a - 2) \end{cases} $$ Заметим, что: $$ x_1 = -(a + 1) = -a - 1 $$ $$ x_2 = (a + 1)(a - 2) = a^2 - a - 2 $$ Проверим их сумму: $$ x_1 + x_2 = (-a - 1) + (a^2 - a - 2) = a^2 - 2a - 3 $$ Сумма и произведение совпадают с коэффициентами уравнения, значит, числа $x_1$ и $x_2$ действительно являются его корнями. Так как коэффициент при старшем члене равен $1 > 0$, решением неравенства $f(x) \leqslant 0$ является отрезок с концами в точках $x_1$ и $x_2$. Все решения неравенства будут лежать на отрезке $[-2; 4]$ тогда и только тогда, когда оба корня принадлежат этому отрезку: $$ \begin{cases} -2 \leqslant x_1 \leqslant 4 \\ -2 \leqslant x_2 \leqslant 4 \end{cases} $$ Решим полученную систему: 1. Для первого корня: $$ -2 \leqslant -a - 1 \leqslant 4 $$ Прибавим $1$ ко всем частям: $$ -1 \leqslant -a \leqslant 5 $$ Умножим на $-1$, изменив знаки неравенств: $$ -5 \leqslant a \leqslant 1 $$ То есть $a \in [-5; 1]$. 2. Для второго корня: $$ -2 \leqslant a^2 - a - 2 \leqslant 4 $$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} a^2 - a - 2 \geqslant -2 \\ a^2 - a - 2 \leqslant 4 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ a^2 - a \geqslant 0 $$ $$ a(a - 1) \geqslant 0 $$ $$ a \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) $$ Решим второе неравенство системы: $$ a^2 - a - 6 \leqslant 0 $$ $$ (a - 3)(a + 2) \leqslant 0 $$ $$ a \in [-2; 3] $$ Найдём пересечение решений для второго корня: $$ a \in ( (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) ) \cap [-2; 3] = [-2; 0] \cup [1; 3] $$ 3. Найдём общее решение системы, пересекая условия для обоих корней: $$ a \in [-5; 1] \cap ([-2; 0] \cup [1; 3]) $$ Пересечение отрезка $[-5; 1]$ с промежутком $[-2; 0]$ даёт $[-2; 0]$, а с промежутком $[1; 3]$ даёт одну точку $\{1\}$. Таким образом: $$ a \in [-2; 0] \cup \{1\} $$ Ответ: $a \in [-2; 0] \cup \{1\}$.