ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.42

Чтобы число являлось корнем уравнения, при его подстановке вместо переменной $x$ должно получаться верное равенство. 1. Проверим число $x_1 = 1$. Подставим $x = 1$ в левую часть уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $$ a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c $$ По условию задачи $a + b + c = 0$. Следовательно: $$ a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 $$ Получили верное равенство $0 = 0$. Значит, число $1$ является корнем данного уравнения. 2. Проверим число $x_2 = \frac{c}{a}$ (где $a \neq 0$). Подставим $x = \frac{c}{a}$ в левую часть уравнения: $$ a \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^2 + b \cdot \left(\frac{c}{a}\right) + c = a \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{bc}{a} + c = \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{a} + c $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю $a$: $$ \frac{c^2 + bc + ac}{a} $$ Вынесем общий множитель $c$ за скобки в числителе: $$ \frac{c(c + b + a)}{a} = \frac{c(a + b + c)}{a} $$ Так как по условию $a + b + c = 0$, получаем: $$ \frac{c \cdot 0}{a} = 0 $$ Уравнение обращается в верное равенство $0 = 0$. Значит, число $\frac{c}{a}$ также является корнем уравнения. *(Замечание: факт того, что вторым корнем является $\frac{c}{a}$, также следует из теоремы Виета: для корней квадратного уравнения справедливо равенство $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Поскольку $x_1 = 1$, то $1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, откуда $x_2 = \frac{c}{a}$.)* Утверждение доказано.