ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.48

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. 1) Выясним, равносильны ли неравенства $\frac{x-3}{x+1} \geqslant 0$ и $(x-3)(x+1) \geqslant 0$. Решим первое неравенство: $$ \frac{x-3}{x+1} \geqslant 0 $$ Область допустимых значений: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Нуль числителя: $x = 3$. Нанесем точки на числовую прямую (точка $x = 3$ закрашена, точка $x = -1$ выколота) и определим знаки дроби на интервалах методом интервалов: * при $x \in (3; +\infty)$: $\frac{+}{+} > 0$; * при $x \in (-1; 3)$: $\frac{-}{+} < 0$; * при $x \in (-\infty; -1)$: $\frac{-}{-} > 0$. Множество решений первого неравенства: $$ x \in (-\infty; -1) \cup [3; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ (x-3)(x+1) \geqslant 0 $$ Корни уравнения $(x-3)(x+1) = 0$: $x = 3$ и $x = -1$. Так как неравенство нестрогое, обе точки включаются в решение. Методом интервалов получаем: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty) $$ Сравним множества решений: значение $x = -1$ является решением второго неравенства, но не является решением первого неравенства (так как при $x = -1$ знаменатель дроби обращается в ноль). Следовательно, множества решений не совпадают. Неравенства не равносильны. 2) Выясним, равносильны ли неравенства $\frac{x+5}{x-8} < 0$ и $(x+5)(x-8) < 0$. Решим первое неравенство: $$ \frac{x+5}{x-8} < 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $x = -5$ и $x = 8$. Так как неравенство строгое, обе точки выколоты. Методом интервалов определяем знаки дроби: * при $x \in (8; +\infty)$: $\frac{+}{+} > 0$; * при $x \in (-5; 8)$: $\frac{+}{-} < 0$; * при $x \in (-\infty; -5)$: $\frac{-}{-} > 0$. Множество решений первого неравенства: $$ x \in (-5; 8) $$ Решим второе неравенство: $$ (x+5)(x-8) < 0 $$ Корни уравнения $(x+5)(x-8) = 0$: $x = -5$ и $x = 8$. Неравенство строгое, точки $x = -5$ и $x = 8$ выколоты. Парабола $y = (x+5)(x-8)$ направлена ветвями вверх, поэтому отрицательные значения выражение принимает между корнями: $$ x \in (-5; 8) $$ Множества решений обоих неравенств полностью совпадают. Неравенства равносильны. Ответ: 1) нет; 2) да.