ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.40

**1)** Построим график функции $y = |2 - x^2|$. График функции вида $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: 1. Строится график $y = f(x)$; 2. Часть графика, расположенная выше оси $Ox$ и на ней, остаётся без изменений; 3. Часть графика, расположенная ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно оси $Ox$ вверх. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = 2 - x^2$: - График — парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). - Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = 2 - 0^2 = 2$. Координаты вершины: $(0; 2)$. - Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $$2 - x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}4$$ - Дополнительные точки: - при $x = \pm 1$: $y = 2 - 1 = 1$; - при $x = \pm 2$: $y = 2 - 4 = -2$. Построение графика $y = |2 - x^2|$: - На промежутке $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ значения функции $f(x) \ge 0$, поэтому график совпадает с параболой $y = 2 - x^2$ с вершиной в точке $(0; 2)$. - При $x < -\sqrt{2}$ и $x > \sqrt{2}$ значения $f(x) < 0$, поэтому эти ветви отражаются вверх. Точки $(\pm 2; -2)$ переходят в точки $(\pm 2; 2)$. - В точках $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; 0)$ график имеет изломы и касается оси $Ox$. --- **2)** Построим график функции $y = |x^2 + x - 2|$. График строится с помощью преобразования $y = |f(x)|$, где $f(x) = x^2 + x - 2$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + x - 2$: - График — парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 1 > 0$). - Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $$x^2 + x - 2 = 0$$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. - Вершина параболы: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} = -0{,}5$$ $$y_0 = (-0{,}5)^2 + (-0{,}5) - 2 = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25$$ Координаты вершины: $(-0{,}5; -2{,}25)$. - Пересечение с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = -2$. Построение графика $y = |x^2 + x - 2|$: - При $x \le -2$ и $x \ge 1$ функция $f(x) \ge 0$, график совпадает с исходной параболой. - При $-2 < x < 1$ функция $f(x) < 0$, поэтому данная часть параболы отражается симметрично относительно оси $Ox$ вверх: - вершина $(-0{,}5; -2{,}25)$ переходит в точку $(-0{,}5; 2{,}25)$; - точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; 2)$. - В точках $(-2; 0)$ и $(1; 0)$ график имеет изломы на оси $Ox$. --- **3)** Построим график функции $y = 5x^2 - 7|x| + 2$. Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно записать в виде: $$y = 5|x|^2 - 7|x| + 2$$ Функция является чётной, так как $y(-x) = y(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 1. Для $x \ge 0$ раскроем модуль: $|x| = x$. Получаем функцию: $$y = 5x^2 - 7x + 2$$ - График — парабола, ветви направлены вверх ($a = 5 > 0$). - Нули функции при $x \ge 0$: $$5x^2 - 7x + 2 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$$ $$x_1 = \frac{7 - 3}{10} = 0{,}4; \quad x_2 = \frac{7 + 3}{10} = 1$$ - Координаты вершины: $$x_0 = \frac{7}{2 \cdot 5} = 0{,}7$$ $$y_0 = 5 \cdot (0{,}7)^2 - 7 \cdot 0{,}7 + 2 = 2{,}45 - 4{,}9 + 2 = -0{,}45$$ Вершина находится в точке $(0{,}7; -0{,}45)$. - Пересечение с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 2$. - Дополнительная точка: при $x = 1{,}5$, $y = 5 \cdot 2{,}25 - 10{,}5 + 2 = 2{,}75$. 2. Для $x < 0$ симметрично отражаем построенную часть относительно оси $Oy$: - Вершина слева: $(-0{,}7; -0{,}45)$; - Нули функции слева: $x = -0{,}4$ и $x = -1$; - В точке $(0; 2)$ на оси $Oy$ образуется излом («впадина» между двумя вершинами). --- **4)** Построим график функции $y = 2x^2 - 5|x| - 3$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, функция является чётной: $y(-x) = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$. 1. При $x \ge 0$ модуль раскрывается со знаком «плюс»: $$y = 2x^2 - 5x - 3$$ - График — парабола, ветви направлены вверх ($a = 2 > 0$). - Нули функции при $x \ge 0$: $$2x^2 - 5x - 3 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -0{,}5 \quad (\text{не удовлетворяет условию } x \ge 0)$$ $$x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$$ Корень на луче $x \ge 0$: $x = 3$. - Координаты вершины: $$x_0 = \frac{5}{2 \cdot 2} = 1{,}25$$ $$y_0 = 2 \cdot (1{,}25)^2 - 5 \cdot 1{,}25 - 3 = 3{,}125 - 6{,}25 - 3 = -6{,}125$$ Вершина находится в точке $(1{,}25; -6{,}125)$. - Пересечение с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = -3$. - Дополнительные точки: - при $x = 1$: $y = 2 - 5 - 3 = -6$; - при $x = 2$: $y = 8 - 10 - 3 = -5$; - при $x = 4$: $y = 32 - 20 - 3 = 9$. 2. Для $x < 0$ отображаем правую часть графика симметрично относительно оси $Oy$: - Вторая вершина: $(-1{,}25; -6{,}125)$; - Второй нуль функции: $x = -3$; - Дополнительные точки слева: $(-1; -6)$, $(-2; -5)$, $(-4; 9)$. - В точке $(0; -3)$ график имеет угловую точку (излом).