ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.38

Преобразуем выражение квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, выделив полный квадрат: $$ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c $$ $$ y = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c $$ $$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c $$ Приведем слагаемые вне скобок к общему знаменателю: $$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$ Так как дискриминант $D = b^2 - 4ac$, получаем: $$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{D}{4a} $$ Проанализируем знаки слагаемых полученного выражения при условиях $a > 0$ и $D < 0$: 1. Для любого действительного значения $x$ квадрат выражения неотрицателен: $$ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \ge 0 $$ Так как $a > 0$, то первое слагаемое неотрицательно: $$ a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \ge 0 $$ 2. Рассмотрим второе слагаемое: $-\frac{D}{4a} = \frac{-D}{4a}$. Так как $D < 0$, то $-D > 0$. Так как $a > 0$, то знаменатель $4a > 0$. Следовательно, дробь строго положительна: $$ -\frac{D}{4a} > 0 $$ Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго больше нуля: $$ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{D}{4a} \ge -\frac{D}{4a} > 0 $$ Таким образом, при $a > 0$ и $D < 0$ функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только положительные значения при всех $x \in \mathbb{R}$. Что и требовалось доказать.