ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.25

**1)** $y = x^2 - 4$ Для параболы $y = ax^2 + bx + c$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 0$, $c = -4$. * **Вершина параболы:** Координаты вершины $(x_0; y_0)$ найдем по формулам: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$$ $$y_0 = 0^2 - 4 = -4$$ Координаты вершины: $(0; -4)$. * **Ось параболы:** Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через ее вершину: $$x = 0$$ (совпадает с осью ординат $Oy$). * **Построение графика:** Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения с осями координат и дополнительные точки для построения: — с осью $Ox$ ($y = 0$): $x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2$, $x_2 = 2$, точки $(-2; 0)$ и $(2; 0)$; — с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -4$, точка $(0; -4)$ — вершина. Составим таблицу значений: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | Для построения графика отметим вершину $(0; -4)$, проведем ось симметрии $x = 0$, нанесем найденные точки и соединим их плавной линией. --- **2)** $y = (x - 4)^2$ Уравнение задано в виде $y = (x - x_0)^2 + y_0$, что соответствует сдвигу параболы $y = x^2$ вдоль оси абсцисс. * **Вершина параболы:** Так как выражение $(x - 4)^2 \ge 0$, наименьшее значение $y = 0$ достигается при $x = 4$: $$x_0 = 4, \quad y_0 = 0$$ Координаты вершины: $(4; 0)$. * **Ось параболы:** Прямая, проходящая через вершину: $$x = 4$$ * **Построение графика:** Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх. График касается оси $Ox$ в вершине $(4; 0)$. Пересечение с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = (0 - 4)^2 = 16$. Составим таблицу симметричных относительно оси $x = 4$ значений: | $x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | Для построения графика отметим вершину $(4; 0)$, проведем штриховой линией ось симметрии $x = 4$, нанесем точки из таблицы и проведем через них плавную параболу. --- **3)** $y = x^2 - 4x + 4$ Выделим полный квадрат двучлена: $$y = (x - 2)^2$$ Здесь $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$. * **Вершина параболы:** $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$ $$y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 0$$ Координаты вершины: $(2; 0)$. * **Ось параболы:** Вертикальная прямая: $$x = 2$$ * **Построение графика:** Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви направлены вверх. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = 4$, точка $(0; 4)$. Симметричная ей относительно оси $x = 2$ точка: $(4; 4)$. Составим таблицу значений: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | Для построения графика отметим вершину $(2; 0)$, ось $x = 2$, нанесем точки $(0; 4)$, $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(4; 4)$ и соединим их плавной кривой. --- **4)** $y = 2x^2 + x - 3$ Коэффициенты квадратного трехчлена: $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$. * **Вершина параболы:** $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$$ $$y_0 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) - 3 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - 3 = -3\frac{1}{8} = -3{,}125$$ Координаты вершины: $(-0{,}25; -3{,}125)$. * **Ось параболы:** Вертикальная прямая: $$x = -0{,}25$$ * **Построение графика:** Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем точки пересечения с осями координат: — с осью $Ox$ ($y = 0$): $$2x^2 + x - 3 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$$ $$x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -1{,}5, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$ Точки пересечения с осью абсцисс: $(-1{,}5; 0)$ и $(1; 0)$. — с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = -3$, точка $(0; -3)$. Симметричная ей точка: $(-0{,}5; -3)$. Составим таблицу значений: | $x$ | $-2$ | $-1{,}5$ | $-1$ | $-0{,}25$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $0$ | $-2$ | $-3{,}125$ | $-3$ | $-2$ | $0$ | Для построения графика на координатной плоскости отметим вершину $(-0{,}25; -3{,}125)$, проведем ось симметрии $x = -0{,}25$, нанесем нули функции $(-1{,}5; 0)$, $(1; 0)$ и вспомогательные точки, после чего соединим их плавной линией.