ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 30

1) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3 \end{cases} $$ Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2xy $$ $$ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2xy $$ Подставим значения из условия системы: $$ (x + y)^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 16 \implies x + y = 4 \quad \text{или} \quad x + y = -4 $$ $$ (x - y)^2 = 10 - 2 \cdot 3 = 4 \implies x - y = 2 \quad \text{или} \quad x - y = -2 $$ Рассмотрим четыре возможные системы линейных уравнений: а) $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $y = 4 - 3 = 1$. Получаем решение $(3; 1)$. б) $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = -2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = 2 \implies x = 1$. Тогда $y = 4 - 1 = 3$. Получаем решение $(1; 3)$. в) $$ \begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = -2 \implies x = -1$. Тогда $y = -4 - (-1) = -3$. Получаем решение $(-1; -3)$. г) $$ \begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = -2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = -6 \implies x = -3$. Тогда $y = -4 - (-3) = -1$. Получаем решение $(-3; -1)$. Ответ: $(3; 1)$, $(1; 3)$, $(-1; -3)$, $(-3; -1)$. --- 2) $$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19, \\ xy = 15 \end{cases} $$ Выразим сумму квадратов $x^2 + y^2$ из первого уравнения: $$ x^2 + y^2 = 19 + xy $$ Подставим значение $xy = 15$: $$ x^2 + y^2 = 19 + 15 = 34 $$ Теперь вычислим $(x + y)^2$ и $(x - y)^2$: $$ (x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 64 \implies x + y = 8 \quad \text{или} \quad x + y = -8 $$ $$ (x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = 34 - 2 \cdot 15 = 4 \implies x - y = 2 \quad \text{или} \quad x - y = -2 $$ Рассмотрим четыре случая: а) $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = 10 \implies x = 5, \quad y = 8 - 5 = 3 $$ Решение: $(5; 3)$. б) $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \quad y = 8 - 3 = 5 $$ Решение: $(3; 5)$. в) $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, \quad y = -8 - (-3) = -5 $$ Решение: $(-3; -5)$. г) $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = -10 \implies x = -5, \quad y = -8 - (-5) = -3 $$ Решение: $(-5; -3)$. Ответ: $(5; 3)$, $(3; 5)$, $(-3; -5)$, $(-5; -3)$. --- 3) $$ \begin{cases} x^2 + 4xy + y^2 = 94, \\ xy = 15 \end{cases} $$ Выразим $x^2 + y^2$ из первого уравнения: $$ x^2 + y^2 = 94 - 4xy $$ Подставим значение $xy = 15$: $$ x^2 + y^2 = 94 - 4 \cdot 15 = 94 - 60 = 34 $$ Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 64 \implies x + y = 8 \quad \text{или} \quad x + y = -8 $$ $$ (x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = 34 - 2 \cdot 15 = 4 \implies x - y = 2 \quad \text{или} \quad x - y = -2 $$ Рассмотрим четыре системы: а) $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = 10 \implies x = 5, \quad y = 3 $$ Решение: $(5; 3)$. б) $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \quad y = 5 $$ Решение: $(3; 5)$. в) $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, \quad y = -5 $$ Решение: $(-3; -5)$. г) $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = -10 \implies x = -5, \quad y = -3 $$ Решение: $(-5; -3)$. Ответ: $(5; 3)$, $(3; 5)$, $(-3; -5)$, $(-5; -3)$. --- 4) $$ \begin{cases} x^2 - 6xy + y^2 = 8, \\ xy = 7 \end{cases} $$ Выразим $x^2 + y^2$ из первого уравнения: $$ x^2 + y^2 = 8 + 6xy $$ Подставим значение $xy = 7$: $$ x^2 + y^2 = 8 + 6 \cdot 7 = 8 + 42 = 50 $$ Найдем значения $(x + y)^2$ и $(x - y)^2$: $$ (x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 50 + 2 \cdot 7 = 64 \implies x + y = 8 \quad \text{или} \quad x + y = -8 $$ $$ (x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = 50 - 2 \cdot 7 = 36 \implies x - y = 6 \quad \text{или} \quad x - y = -6 $$ Рассмотрим четыре системы: а) $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 6 \end{cases} \implies 2x = 14 \implies x = 7, \quad y = 8 - 7 = 1 $$ Решение: $(7; 1)$. б) $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = -6 \end{cases} \implies 2x = 2 \implies x = 1, \quad y = 8 - 1 = 7 $$ Решение: $(1; 7)$. в) $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = 6 \end{cases} \implies 2x = -2 \implies x = -1, \quad y = -8 - (-1) = -7 $$ Решение: $(-1; -7)$. г) $$ \begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = -6 \end{cases} \implies 2x = -14 \implies x = -7, \quad y = -8 - (-7) = -1 $$ Решение: $(-7; -1)$. Ответ: $(7; 1)$, $(1; 7)$, $(-1; -7)$, $(-7; -1)$.