ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 32

**1)** $$ \begin{cases} x^2 - y = 7, \\ x^2 y = 18 \end{cases} $$ Выразим $x^2$ из первого уравнения системы: $x^2 = y + 7$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (y + 7)y = 18 $$ $$ y^2 + 7y - 18 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $y_1 = 2$, $y_2 = -9$. Найдем соответствующие значения $x$: 1) При $y_1 = 2$: $x^2 = 2 + 7 = 9 \implies x_1 = 3,\; x_2 = -3$. Получаем решения: $(3; 2)$ и $(-3; 2)$. 2) При $y_2 = -9$: $x^2 = -9 + 7 = -2$ — действительных корней нет, так как $x^2 \ge 0$. Ответ: $(3; 2)$, $(-3; 2)$. --- **2)** $$ \begin{cases} 2x^2 + y = 3, \\ x^2 y - 1 = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x^2$: $x^2 = \dfrac{3 - y}{2}$. Подставим это выражение во второе уравнение $x^2 y = 1$: $$ \frac{3 - y}{2} \cdot y = 1 $$ $$ 3y - y^2 = 2 $$ $$ y^2 - 3y + 2 = 0 $$ По теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$. Найдем соответствующие значения $x$: 1) При $y_1 = 1$: $x^2 = \dfrac{3 - 1}{2} = 1 \implies x_1 = 1,\; x_2 = -1$. Получаем пары: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. 2) При $y_2 = 2$: $x^2 = \dfrac{3 - 2}{2} = \dfrac{1}{2} \implies x_3 = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\; x_4 = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем пары: $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$ и $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$. Ответ: $(1; 1)$, $(-1; 1)$, $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$, $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 2\right)$. --- **3)** $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $$ Решим систему способом сложения. Сложим первое и второе уравнения: $$ (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 12 + 20 $$ $$ 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 20 - 12 $$ $$ 2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 $$ Комбинируя все возможные знаки, получаем четыре решения. Ответ: $(4; 2)$, $(4; -2)$, $(-4; 2)$, $(-4; -2)$. --- **4)** $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $$ Применим метод сложения. Сложим оба уравнения системы: $$ 2x^2 = 50 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5 $$ Вычтем первое уравнение из второго: $$ 2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 $$ Запишем все возможные пары значений $(x; y)$. Ответ: $(5; 2)$, $(5; -2)$, $(-5; 2)$, $(-5; -2)$. --- **5)** $$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 28, \\ xy^2 + x^2 y = 12 \end{cases} $$ Умножим второе уравнение системы на 3 и сложим его с первым уравнением: $$ (x^3 + y^3) + 3(x^2 y + xy^2) = 28 + 3 \cdot 12 $$ $$ x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 = 64 $$ Применим формулу куба суммы $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3$: $$ (x + y)^3 = 64 \implies x + y = 4 $$ Во втором уравнении вынесем общий множитель $xy$ за скобки: $xy(y + x) = 12$. Так как $x + y = 4$, получаем: $xy \cdot 4 = 12 \implies xy = 3$. Имеем систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = 3 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$. Следовательно, решениями являются пары $(1; 3)$ и $(3; 1)$. Ответ: $(1; 3)$, $(3; 1)$. --- **6)** $$ \begin{cases} xy^2 + xy^3 = 10, \\ x + xy = 10 \end{cases} $$ Вынесем общие множители в левых частях обоих уравнений: $$ \begin{cases} xy^2 (1 + y) = 10, \\ x(1 + y) = 10 \end{cases} $$ Перепишем первое уравнение в виде: $y^2 \cdot [x(1 + y)] = 10$. Подставим значение $x(1 + y) = 10$ из второго уравнения: $$ y^2 \cdot 10 = 10 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $$ Проверим найденные значения $y$: 1) Если $y = -1$, то второе уравнение принимает вид $x(1 - 1) = 10 \implies 0 = 10$, что неверно. Значит, $y = -1$ не является решением. 2) Если $y = 1$, подставим во второе уравнение: $x(1 + 1) = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. Ответ: $(5; 1)$.