ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 29

1) $$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 2x^2 - xy - 3y^2 = 3 \end{cases} $$ Разложим левую часть второго уравнения системы на множители способом группировки: $$ 2x^2 - xy - 3y^2 = 2x^2 + 2xy - 3xy - 3y^2 = 2x(x + y) - 3y(x + y) = (2x - 3y)(x + y) $$ Подставим выражение $(2x - 3y) = 1$ из первого уравнения во второе: $$ 1 \cdot (x + y) = 3 \implies x + y = 3 $$ Получаем систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 3 - y$, и подставим в первое уравнение: $$ 2(3 - y) - 3y = 1 $$ $$ 6 - 2y - 3y = 1 $$ $$ -5y = -5 \implies y = 1 $$ Найдем значение $x$: $$ x = 3 - 1 = 2 $$ Ответ: $(2; 1)$. --- 2) $$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 133, \\ x + y = 7 \end{cases} $$ Применим формулу суммы кубов к первому уравнению: $$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) $$ Подставим значение $x + y = 7$: $$ 7 \cdot (7^2 - 3xy) = 133 $$ $$ 49 - 3xy = \frac{133}{7} $$ $$ 49 - 3xy = 19 $$ $$ 3xy = 30 \implies xy = 10 $$ Составим систему: $$ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 10 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 7t + 10 = 0 $$ $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2, \quad t_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 $$ Таким образом, получаем две пары решений: $$ \begin{cases} x_1 = 2, \\ y_1 = 5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x_2 = 5, \\ y_2 = 2 \end{cases} $$ Ответ: $(2; 5), (5; 2)$. --- 3) $$ \begin{cases} xy - x + y = 7, \\ xy + x - y = 13 \end{cases} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \begin{cases} xy - (x - y) = 7, \\ xy + (x - y) = 13 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ 2xy = 20 \implies xy = 10 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 2(x - y) = 6 \implies x - y = 3 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 10 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 3$, и подставим во второе: $$ (y + 3)y = 10 $$ $$ y^2 + 3y - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $$ y_1 = 2, \quad y_2 = -5 $$ Найдем соответствующие значения $x$: $$ x_1 = 2 + 3 = 5 $$ $$ x_2 = -5 + 3 = -2 $$ Ответ: $(5; 2), (-2; -5)$. --- 4) $$ \begin{cases} xy - 2(x + y) = 2, \\ xy + x + y = 29 \end{cases} $$ Введем замену переменных: пусть $u = xy$, а $v = x + y$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u - 2v = 2, \\ u + v = 29 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 3v = 27 \implies v = 9 $$ Найдем $u$: $$ u = 29 - v = 29 - 9 = 20 $$ Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 20 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения: $$ t^2 - 9t + 20 = 0 $$ $$ (t - 4)(t - 5) = 0 $$ $$ t_1 = 4, \quad t_2 = 5 $$ Получаем две пары решений: $$ \begin{cases} x_1 = 4, \\ y_1 = 5 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x_2 = 5, \\ y_2 = 4 \end{cases} $$ Ответ: $(4; 5), (5; 4)$.