ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 28

**1)** $$ \begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 4x^2 - 9y^2 = 27 \end{cases} $$ Разложим левую часть второго уравнения по формуле разности квадратов: $$ (2x - 3y)(2x + 3y) = 27 $$ Так как из первого уравнения $2x + 3y = 3$, подставим это значение: $$ (2x - 3y) \cdot 3 = 27 $$ $$ 2x - 3y = 9 $$ Получаем систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 2x - 3y = 9 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения: $$ (2x + 3y) + (2x - 3y) = 3 + 9 $$ $$ 4x = 12 \implies x = 3 $$ Подставим $x = 3$ в первое уравнение: $$ 2 \cdot 3 + 3y = 3 $$ $$ 6 + 3y = 3 $$ $$ 3y = -3 \implies y = -1 $$ Ответ: $(3; -1)$. --- **2)** $$ \begin{cases} x - y = 5, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Разложим левую часть первого уравнения как разность квадратов: $$ x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5 $$ Так как $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$, получаем: $$ 1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5 \implies \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 $$ Составим систему: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2\sqrt{x} = 6 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9 $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 2\sqrt{y} = 4 \implies \sqrt{y} = 2 \implies y = 2^2 = 4 $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(9; 4)$. --- **3)** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15 \end{cases} $$ Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 64 $$ $$ (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 34 - 2 \cdot 15 = 4 $$ Отсюда: $$ x + y = \pm 8, \quad x - y = \pm 2 $$ Рассмотрим возможные случаи: 1. $\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = 10 \implies x = 5, \; y = 3$ 2. $\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \; y = 5$ 3. $\begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = 2 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, \; y = -5$ 4. $\begin{cases} x + y = -8, \\ x - y = -2 \end{cases} \implies 2x = -10 \implies x = -5, \; y = -3$ Ответ: $(5; 3)$, $(3; 5)$, $(-3; -5)$, $(-5; -3)$. --- **4)** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12 \end{cases} $$ Воспользуемся формулами сокращенного умножения: $$ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 2 \cdot 12 = 49 \implies x + y = \pm 7 $$ $$ (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 25 - 2 \cdot 12 = 1 \implies x - y = \pm 1 $$ Рассмотрим все комбинации знаков: 1. $\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = 8 \implies x = 4, \; y = 3$ 2. $\begin{cases} x + y = 7, \\ x - y = -1 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \; y = 4$ 3. $\begin{cases} x + y = -7, \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = -6 \implies x = -3, \; y = -4$ 4. $\begin{cases} x + y = -7, \\ x - y = -1 \end{cases} \implies 2x = -8 \implies x = -4, \; y = -3$ Ответ: $(4; 3)$, $(3; 4)$, $(-3; -4)$, $(-4; -3)$.