ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 31

### 1) $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1, \\ x + y = 4 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Приведём слагаемые в левой части первого уравнения к общему знаменателю: $$ \frac{x + y}{xy} = 1 $$ Так как из второго уравнения $x + y = 4$, подставим это значение в числитель дроби: $$ \frac{4}{xy} = 1 \implies xy = 4 $$ Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 4, \\ xy = 4 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 4 - x$, и подставим во второе уравнение: $$ x(4 - x) = 4 $$ $$ 4x - x^2 = 4 $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$ $$ (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2 $$ Найдём значение $y$: $$ y = 4 - 2 = 2 $$ Найденные значения удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Ответ: $(2; 2)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} \frac{x + y}{x - y} = \frac{3}{2}, \\ xy = 80 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x - y \neq 0$, то есть $x \neq y$. Используя основное свойство пропорции, преобразуем первое уравнение: $$ 2(x + y) = 3(x - y) $$ $$ 2x + 2y = 3x - 3y $$ $$ 3x - 2x = 2y + 3y $$ $$ x = 5y $$ Подставим выражение $x = 5y$ во второе уравнение системы: $$ 5y \cdot y = 80 $$ $$ 5y^2 = 80 $$ $$ y^2 = 16 $$ Отсюда: $y_1 = 4$, $y_2 = -4$. Найдём соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 5 \cdot 4 = 20$. 2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 5 \cdot (-4) = -20$. Обе пары удовлетворяют условию $x \neq y$. Ответ: $(20; 4)$, $(-20; -4)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,3 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \frac{y - x}{xy} = -0,3 $$ Так как $x - y = 3$, то $y - x = -(x - y) = -3$. Подставим это значение: $$ \frac{-3}{xy} = -0,3 $$ $$ xy = \frac{-3}{-0,3} $$ $$ xy = 10 $$ Составим новую систему: $$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 10 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 3$, и подставим во второе: $$ (y + 3)y = 10 $$ $$ y^2 + 3y - 10 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 $$ Найдём соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. 2. Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$. Оба решения удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Ответ: $(5; 2)$, $(-2; -5)$. --- ### 4) $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,5 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$. Сложим дроби во втором уравнении: $$ \frac{x + y}{xy} = 0,5 $$ Подставим значение $x + y = 9$ из первого уравнения: $$ \frac{9}{xy} = 0,5 $$ $$ xy = \frac{9}{0,5} $$ $$ xy = 18 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 9, \\ xy = 18 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 9 - x$, и подставим во второе: $$ x(9 - x) = 18 $$ $$ 9x - x^2 = 18 $$ $$ x^2 - 9x + 18 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{9 + 3}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{9 - 3}{2} = 3 $$ Найдём соответствующие значения $y$: 1. Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 9 - 6 = 3$. 2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 9 - 3 = 6$. Оба решения удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Ответ: $(6; 3)$, $(3; 6)$.