ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 25

**1)** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 74, \\ x + y = 12 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения системы: $$ y = 12 - x $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + (12 - x)^2 = 74 $$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $$ x^2 + 144 - 24x + x^2 = 74 $$ $$ 2x^2 - 24x + 144 - 74 = 0 $$ $$ 2x^2 - 24x + 70 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 - 12x + 35 = 0 $$ Найдем корни по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 12, \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases} \implies x_1 = 5, \quad x_2 = 7 $$ Найдем соответствующие значения $y$: * при $x_1 = 5$: $y_1 = 12 - 5 = 7$; * при $x_2 = 7$: $y_2 = 12 - 7 = 5$. Ответ: $(5; 7)$, $(7; 5)$. --- **2)** $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 32, \\ x - y = 4 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 32 $$ Так как из второго уравнения $x - y = 4$, подставим это значение: $$ 4(x + y) = 32 $$ $$ x + y = 8 $$ Получаем систему двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 4 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения системы: $$ (x + y) + (x - y) = 8 + 4 $$ $$ 2x = 12 $$ $$ x = 6 $$ Подставим $x = 6$ в уравнение $x + y = 8$: $$ 6 + y = 8 \implies y = 2 $$ Ответ: $(6; 2)$. --- **3)** $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = 4 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения системы: $$ y = 4 - x $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + (4 - x)^2 = 10 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 16 - 8x + x^2 = 10 $$ $$ 2x^2 - 8x + 16 - 10 = 0 $$ $$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 4, \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 3 $$ Найдем соответствующие значения $y$: * при $x_1 = 1$: $y_1 = 4 - 1 = 3$; * при $x_2 = 3$: $y_2 = 4 - 3 = 1$. Ответ: $(1; 3)$, $(3; 1)$. --- **4)** $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения по формуле разности квадратов: $$ (x - y)(x + y) = 16 $$ Так как $x - y = 1$, подставим это значение: $$ 1 \cdot (x + y) = 16 $$ $$ x + y = 16 $$ Составим систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 16, \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения: $$ (x + y) + (x - y) = 16 + 1 $$ $$ 2x = 17 $$ $$ x = 8{,}5 $$ Подставим $x = 8{,}5$ в уравнение $x + y = 16$: $$ 8{,}5 + y = 16 \implies y = 16 - 8{,}5 = 7{,}5 $$ Ответ: $(8{,}5; 7{,}5)$.