ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов проверье себя / глава 2 - 1

1) Вычислим значение выражения: $$ 3^{-5} : 3^{-7} - 2^{-2} \cdot 2^{4} + \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{3} $$ Порядок действий: 1. Выполним деление степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$): $$ 3^{-5} : 3^{-7} = 3^{-5 - (-7)} = 3^{-5 + 7} = 3^2 = 9 $$ 2. Выполним умножение степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $$ 2^{-2} \cdot 2^4 = 2^{-2 + 4} = 2^2 = 4 $$ 3. Преобразуем степень дроби, используя свойства $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3,375 $$ 4. Найдём значение всего выражения: $$ 9 - 4 + 3\frac{3}{8} = 5 + 3\frac{3}{8} = 8\frac{3}{8} \quad (8,375) $$ **Ответ к п. 1:** $8\frac{3}{8}$ (или $8,375$). --- 2) Вычислим значение выражения: $$ 5\sqrt[3]{10} \cdot 32 - \frac{3\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3}} $$ Порядок действий: 1. Упростим первое слагаемое: $$ 5\sqrt[3]{10} \cdot 32 = (5 \cdot 32)\sqrt[3]{10} = 160\sqrt[3]{10} $$ 2. Упростим вычитаемое, используя свойства корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$: $$ \frac{3\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3}} = \frac{3\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2 \cdot 3}} = \frac{3\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{6}} = 3\sqrt[3]{\frac{48}{6}} = 3\sqrt[3]{8} = 3 \cdot 2 = 6 $$ 3. Выполним вычитание: $$ 160\sqrt[3]{10} - 6 $$ *Примечание:* в оригинальном тексте учебника Алимова данное задание имеет вид $\sqrt[5]{3^{10} \cdot 32} - \frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3}}$. В таком случае: $$ \sqrt[5]{3^{10} \cdot 32} = \sqrt[5]{3^{10}} \cdot \sqrt[5]{32} = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18 $$ $$ \frac{\sqrt[3]{48}}{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{48}{6}} = \sqrt[3]{8} = 2 $$ $$ 18 - 2 = 16 $$ **Ответ к п. 2:** $160\sqrt[3]{10} - 6$ (по условию учебника: $16$). --- 3) Вычислим значение выражения: $$ 25^{\frac{3}{2}} \cdot 25^{-1} + (5^3)^{\frac{2}{3}} : 5^3 - 48^3 : 6^3 $$ Порядок действий: 1. Упростим первое слагаемое по свойству произведения степеней с одинаковым основанием: $$ 25^{\frac{3}{2}} \cdot 25^{-1} = 25^{\frac{3}{2} - 1} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 $$ 2. Упростим второе слагаемое, используя свойства возведения степени в степень и деления степеней: $$ (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 5^2 = 25 $$ $$ 5^2 : 5^3 = 5^{2 - 3} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2 $$ 3. Упростим третье слагаемое по свойству деления степеней с одинаковым показателем $a^n : b^n = (a : b)^n$: $$ 48^3 : 6^3 = (48 : 6)^3 = 8^3 = 512 $$ 4. Найдём значение всего выражения: $$ 5 + 0,2 - 512 = 5,2 - 512 = -506,8 \quad \left(-506\frac{4}{5}\right) $$ *Примечание:* в оригинальном тексте учебника Алимова вычитаемое имеет показатель степени $\frac{2}{3}$, то есть $48^{\frac{2}{3}} : 6^{\frac{2}{3}} = (48 : 6)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$. При такой записи: $5 + 0,2 - 4 = 1,2$ (или $5 + 25 - 4 = 26$, если деление на $5^3$ во втором слагаемом отсутствует). **Ответ к п. 3:** $-506,8$ (или $-506\frac{4}{5}$).