ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов проверье себя / глава 1 - 4

Пусть числитель искомой дроби равен $x$, а её знаменатель равен $y$ ($x \neq 0$, $y \neq 0$). Тогда дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, а обратная ей — $\frac{y}{x}$. По условию задачи составим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{25}{12} \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы, приведя слагаемые к общему знаменателю: $$ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12} $$ Подставим значение $x^2 + y^2 = 25$ из первого уравнения: $$ \frac{25}{xy} = \frac{25}{12} $$ Отсюда получаем: $$ xy = 12 $$ Задачу можно решить относительно самой дроби $\frac{x}{y}$. Обозначим $t = \frac{x}{y}$, тогда второе уравнение принимает вид: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12} $$ Умножим обе части уравнения на $12t$ при $t \neq 0$: $$ 12t^2 - 25t + 12 = 0 $$ Найдем корни полученного квадратного уравнения: $$ D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} $$ $$ t_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$ Проверим существование числителя и знаменателя для найденных значений: 1) Если $t = \frac{4}{3}$, то $x = \frac{4}{3}y$. Подставим в первое уравнение системы: $$\left(\frac{4}{3}y\right)^2 + y^2 = 25$$ $$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25$$ $$\frac{25}{9}y^2 = 25 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$$ При этом $x = \pm 4$, и дробь равна $\frac{4}{3}$ (или $\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$). 2) Если $t = \frac{3}{4}$, то аналогично $x = \frac{3}{4}y$: $$\left(\frac{3}{4}y\right)^2 + y^2 = 25$$ $$\frac{25}{16}y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$$ При этом $x = \pm 3$, и дробь равна $\frac{3}{4}$ (или $\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$). Оба значения удовлетворяют условиям задачи. Ответ: $\frac{4}{3}$ или $\frac{3}{4}$.