ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов проверье себя / глава 2 - 4

### 1. Упрощение выражения Запишем корень в знаменателе в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$: $$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$$ Подставим это в исходное выражение: $$\frac{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[3]{a^2} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}}$$ Разделим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель: $$\frac{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} - \frac{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}}$$ Упростим каждую дробь: 1. В первой дроби применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{3}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^1}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{1 - \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4}}$$ 2. Во второй дроби сократим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{4}}$: $$\frac{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{-\frac{2}{3}}$$ Таким образом, упрощённое выражение имеет вид: $$a^{\frac{3}{4}} - a^{-\frac{2}{3}} \quad \left(\text{или } \sqrt[4]{a^3} - \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\right)$$ --- ### 2. Нахождение числового значения при $a = 81$ Представим число $81$ в виде степени с основанием $3$: $81 = 3^4$. Подставим $a = 3^4$ в полученное выражение: 1. $a^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$ 2. $a^{-\frac{2}{3}} = (3^4)^{-\frac{2}{3}} = 3^{4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = 3^{-\frac{8}{3}} = \frac{1}{3^{\frac{8}{3}}} = \frac{1}{3^{2 + \frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^2 \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{9\sqrt[3]{9}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{9\sqrt[3]{9}}$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{3}$: $$\frac{1}{9\sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{9\sqrt[3]{9 \cdot 3}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{9 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{3}}{27}$$ Вычислим разность: $$27 - \frac{\sqrt[3]{3}}{27} = \frac{27 \cdot 27 - \sqrt[3]{3}}{27} = \frac{729 - \sqrt[3]{3}}{27}$$ --- *Примечание:* Если в числителе исходного условия вместо знака «минус» предполагался знак умножения (частая типографская неточность при распознавании точки как дефиса): $$\frac{a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}}}{\sqrt[3]{a^2} \cdot a^{\frac{1}{4}}} = \frac{a^{\frac{5}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = a^1 = a$$ В этом случае при $a = 81$ значение выражения равно $81$. --- **Ответ:** $a^{\frac{3}{4}} - a^{-\frac{2}{3}}$; при $a = 81$ значение равно $\frac{729 - \sqrt[3]{3}}{27}$ (при условии умножения в числителе: $a$, значение равно $81$).