ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 159

**1)** $y = \frac{2x}{x^2 - 2x - 3}$ Дробное выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда его знаменатель не равен нулю: $$ x^2 - 2x - 3 \neq 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 3 $$ Значит, знаменатель обращается в ноль при $x = -1$ и $x = 3$. Следовательно: $$ x \neq -1, \quad x \neq 3 $$ Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$. **2)** $y = \sqrt[6]{x^2 - 7x + 10}$ Корень четной (шестой) степени имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: $$ x^2 - 7x + 10 \ge 0 $$ Найдем нули квадратного трехчлена, решив уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = 10 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 5 $$ Коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, поэтому ветви соответствующей параболы направлены вверх. Значения трехчлена неотрицательны вне интервала между корнями: $$ x \le 2 \quad \text{или} \quad x \ge 5 $$ Область определения: $x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$. **3)** $y = \sqrt[8]{3x^2 - 2x + 5}$ Корень четной (восьмой) степени определен при условии неотрицательности подкоренного выражения: $$ 3x^2 - 2x + 5 \ge 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56 $$ Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, график функции лежит строго выше оси абсцисс, и трехчлен $3x^2 - 2x + 5$ положителен при любых действительных значениях переменной $x$. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$. **4)** $y = \sqrt[6]{\frac{2x + 4}{3 - x}}$ Корень четной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель дроби отличен от нуля: $$ \frac{2x + 4}{3 - x} \ge 0 $$ Вынесем общий множитель в числителе: $$ \frac{2(x + 2)}{3 - x} \ge 0 $$ Разделим обе части неравенства на $2$: $$ \frac{x + 2}{3 - x} \ge 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x + 2}{x - 3} \le 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: 1. Нуль числителя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$ (входит в решение). 2. Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$ (не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 3$). Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения $\frac{x + 2}{x - 3}$ на получившихся промежутках: - при $x \in (3; +\infty)$ выражение положительно ($+$); - при $x \in [-2; 3)$ выражение неположительно ($-$), условие выполняется; - при $x \in (-\infty; -2)$ выражение положительно ($+$). Область определения: $x \in [-2; 3)$. **Ответ:** 1) $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$ 2) $x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$ 3) $x \in (-\infty; +\infty)$ 4) $x \in [-2; 3)$