ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 161

1) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 4}{x + 3}}$ Арифметический квадратный корень определён, если подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю: $$ \frac{x^2 - 4}{x + 3} \ge 0 $$ Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \ge 0 $$ Применим метод интервалов: - нули числителя: $x = -2$ и $x = 2$ (входят в область определения); - нуль знаменателя: $x = -3$ (не входит в область определения, так как делить на нуль нельзя: $x + 3 \ne 0$). Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся промежутках: - на интервале $(2; +\infty)$ выражение принимает знак $(+)$; - на отрезке $[-2; 2]$ выражение принимает знак $(-)$; - на полуинтервале $(-3; -2]$ выражение принимает знак $(+)$; - на луче $(-\infty; -3)$ выражение принимает знак $(-)$. Выбираем промежутки, где выражение неотрицательно: Ответ: $x \in (-3; -2] \cup [2; +\infty)$. --- 2) $y = \sqrt[4]{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}$ Корень четной (четвертой) степени имеет смысл только тогда, когда выражение под корнем больше или равно нулю: $$ (x - 1)(x - 2)(x - 3) \ge 0 $$ Применим метод интервалов: - нули функции: $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$. Отметим эти точки на числовой прямой (все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое) и определим знаки на промежутках: - при $x > 3$: знак $(+)$; - при $2 \le x \le 3$: знак $(-)$; - при $1 \le x \le 2$: знак $(+)$; - при $x < 1$: знак $(-)$. Выбираем интервалы со знаком $(+)$: Ответ: $x \in [1; 2] \cup [3; +\infty)$. --- 3) $y = \sqrt[3]{\frac{1 - x}{1 + x}}$ Корень нечетной (третьей) степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения. Единственным ограничением является знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю: $$ 1 + x \ne 0 \implies x \ne -1 $$ Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. --- 4) $y = \sqrt{(x + 1)(x - 1)(x - 4)}$ Квадратный корень определён, если выражение под знаком корня неотрицательно: $$ (x + 1)(x - 1)(x - 4) \ge 0 $$ Применим метод интервалов: - нули функции: $x = -1$, $x = 1$, $x = 4$ (все точки входят в решение). Расставим знаки на промежутках: - при $x > 4$: знак $(+)$; - при $1 \le x \le 4$: знак $(-)$; - при $-1 \le x \le 1$: знак $(+)$; - при $x < -1$: знак $(-)$. Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю: Ответ: $x \in [-1; 1] \cup [4; +\infty)$. --- 5) $y = \sqrt[8]{\frac{x^2 + 4x - 5}{x - 2}}$ Корень четной (восьмой) степени существует, если подкоренное выражение неотрицательно: $$ \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 2} \ge 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$, откуда $x_1 = -5$, $x_2 = 1$. Получаем $x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{(x + 5)(x - 1)}{x - 2} \ge 0 $$ Применим метод интервалов: - нули числителя: $x = -5$ и $x = 1$ (закрашенные точки); - нуль знаменателя: $x = 2$ (выколотая точка, так как $x - 2 \ne 0$). Определим знаки выражения на интервалах: - при $x > 2$: знак $(+)$; - при $1 \le x < 2$: знак $(-)$; - при $-5 \le x \le 1$: знак $(+)$; - при $x < -5$: знак $(-)$. Выбираем промежутки со знаком $(+)$: Ответ: $x \in [-5; 1] \cup (2; +\infty)$. --- 6) $y = \sqrt[6]{x} + \sqrt{1 + x}$ Функция состоит из суммы двух корней четных степеней (шестой и второй). Функция определена тогда, когда оба подкоренных выражения одновременно неотрицательны. Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 1 + x \ge 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -1 \end{cases} $$ Пересечением решений этих двух неравенств является $x \ge 0$. Ответ: $x \in [0; +\infty)$.