ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 897

Двойное неравенство $$ \frac{1}{3} \leqslant \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \leqslant 3 $$ равносильно системе двух неравенств: $$ \begin{cases} \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \geqslant \dfrac{1}{3}, \\ \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \leqslant 3. \end{cases} $$ Заметим, что знаменатель дроби положителен при любых действительных значениях $x$, так как: $$ x^2 + x + 1 = \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0 $$ Докажем справедливость каждого из двух неравенств. 1. Докажем, что $\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \geqslant \dfrac{1}{3}$. Рассмотрим разность левой и правой частей: $$ \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} - \frac{1}{3} = \frac{3(x^2 - x + 1) - (x^2 + x + 1)}{3(x^2 + x + 1)} $$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{3x^2 - 3x + 3 - x^2 - x - 1}{3(x^2 + x + 1)} = \frac{2x^2 - 4x + 2}{3(x^2 + x + 1)} = \frac{2(x^2 - 2x + 1)}{3(x^2 + x + 1)} = \frac{2(x - 1)^2}{3(x^2 + x + 1)} $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 1)^2 \geqslant 0$. Знаменатель $3(x^2 + x + 1) > 0$. Следовательно: $$ \frac{2(x - 1)^2}{3(x^2 + x + 1)} \geqslant 0 $$ Значит, неравенство $\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \geqslant \dfrac{1}{3}$ верно при всех действительных $x$. 2. Докажем, что $\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \leqslant 3$. Рассмотрим разность: $$ 3 - \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{3(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)}{x^2 + x + 1} $$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{3x^2 + 3x + 3 - x^2 + x - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2 + x + 1} = \frac{2(x^2 + 2x + 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + x + 1} $$ Так как $(x + 1)^2 \geqslant 0$ при любых $x$, а знаменатель $x^2 + x + 1 > 0$, получаем: $$ \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + x + 1} \geqslant 0 $$ Отсюда следует, что $3 - \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \geqslant 0$, то есть $\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \leqslant 3$ верно при всех действительных $x$. Так как оба неравенства выполняются при всех действительных $x$, исходное двойное неравенство: $$ \frac{1}{3} \leqslant \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \leqslant 3 $$ справедливо при всех действительных значениях $x$, что и требовалось доказать.