ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 895

Дано квадратное уравнение: $$ x^2 - 2(r-1)x + 2r + 1 = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -2(r-1)$, $c = 2r + 1$. Так как второй коэффициент чётный, найдём четверть дискриминанта $\frac{D}{4}$: $$ \frac{D}{4} = (-(r-1))^2 - 1 \cdot (2r + 1) = (r - 1)^2 - (2r + 1) $$ $$ \frac{D}{4} = r^2 - 2r + 1 - 2r - 1 = r^2 - 4r = r(r - 4) $$ **1. Доказательство существования действительных корней при $r < 0$** По условию $r < 0$. Оценим знак множителей в выражении $\frac{D}{4} = r(r - 4)$: * первый множитель: $r < 0$; * второй множитель: так как $r < 0$, то $r - 4 < -4$, то есть $r - 4 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $$ \frac{D}{4} = r(r - 4) > 0 $$ Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при любом $r < 0$, что и требовалось доказать. **2. Нахождение значений $r$ ($r < 0$), при которых оба корня отрицательны** Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Для того чтобы оба действительных корня были отрицательными ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$), необходимо и достаточно, чтобы их сумма была отрицательной, а произведение — положительным: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 < 0 \\ x_1 x_2 > 0 \end{cases} $$ По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: $$ x_1 + x_2 = 2(r - 1) $$ $$ x_1 x_2 = 2r + 1 $$ Составим систему неравенств с учётом условия $r < 0$: $$ \begin{cases} r < 0 \\ 2(r - 1) < 0 \\ 2r + 1 > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $r < 0$; 2. $2(r - 1) < 0 \iff r - 1 < 0 \iff r < 1$; 3. $2r + 1 > 0 \iff 2r > -1 \iff r > -\frac{1}{2}$. Найдём общее решение системы: $$ \begin{cases} r < 0 \\ r < 1 \\ r > -\frac{1}{2} \end{cases} \iff -\frac{1}{2} < r < 0 $$ Ответ: $-\frac{1}{2} < r < 0$ (или $r \in \left(-\frac{1}{2}; 0\right)$).