ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 900

Дано квадратное уравнение: $$ (r-4)x^2 - 2(r-3)x + r = 0 $$ Так как в условии сказано, что уравнение является квадратным, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю: $$ r - 4 \neq 0 \implies r \neq 4 $$ Квадратное уравнение имеет действительные положительные корни $x_1$ и $x_2$ тогда и только тогда, когда выполняются три условия: 1. Дискриминант неотрицателен (корни существуют): $D \ge 0$; 2. Произведение корней положительно (корни одного знака): $x_1 x_2 > 0$; 3. Сумма корней положительна (оба корня положительны): $x_1 + x_2 > 0$. Составим и решим соответствующую систему неравенств. 1) Найдём четверть дискриминанта $\frac{D}{4}$: $$ \frac{D}{4} = (-(r-3))^2 - (r-4) \cdot r = r^2 - 6r + 9 - r^2 + 4r = 9 - 2r $$ Условие существования корней: $$ 9 - 2r \ge 0 \implies 2r \le 9 \implies r \le 4{,}5 $$ 2) По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения: $$ x_1 + x_2 = \frac{2(r-3)}{r-4} $$ $$ x_1 x_2 = \frac{r}{r-4} $$ 3) Запишем систему неравенств: $$ \begin{cases} r \le 4{,}5 \\ \dfrac{r}{r-4} > 0 \\ \dfrac{2(r-3)}{r-4} > 0 \end{cases} $$ Решим второе неравенство $\dfrac{r}{r-4} > 0$ методом интервалов: Нули числителя и знаменателя: $r = 0$, $r = 4$. $$ r \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) $$ Решим третье неравенство $\dfrac{2(r-3)}{r-4} > 0 \iff \dfrac{r-3}{r-4} > 0$ методом интервалов: Нули числителя и знаменателя: $r = 3$, $r = 4$. $$ r \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty) $$ 4) Найдём общее решение системы: - Пересечение решений второго и третьего неравенств: $$ \big((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\big) \cap \big((-\infty; 3) \cup (4; +\infty)\big) = (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) $$ - С учётом условия существования корней $r \le 4{,}5$: $$ \big((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\big) \cap (-\infty; 4{,}5] = (-\infty; 0) \cup (4; 4{,}5] $$ *(Примечание: если под корнями понимаются два различных положительных корня, то $D > 0$, откуда $r < 4{,}5$, и ответом будет $r \in (-\infty; 0) \cup (4; 4{,}5)$).* Ответ: $r \in (-\infty; 0) \cup (4; 4{,}5]$