ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 899

Пусть $x_0$ — общий корень уравнений $x^2 + ax + bc = 0$ и $x^2 + bx + ca = 0$. Так как $x_0$ является корнем каждого из них, подставим его в оба уравнения: $$ x_0^2 + ax_0 + bc = 0 $$ $$ x_0^2 + bx_0 + ca = 0 $$ Вычтем почленно из первого уравнения второе: $$ (x_0^2 + ax_0 + bc) - (x_0^2 + bx_0 + ca) = 0 $$ $$ (a - b)x_0 + bc - ca = 0 $$ $$ (a - b)x_0 - c(a - b) = 0 $$ $$ (a - b)(x_0 - c) = 0 $$ По условию числа $a$ и $b$ различны, то есть $a \neq b$, откуда $a - b \neq 0$. Разделив обе части равенства на $a - b$, получаем: $$ x_0 - c = 0 \implies x_0 = c $$ Таким образом, общим корнем данных уравнений является число $c$. Так как $x_0 = c$ удовлетворяет первому уравнению, подставим $x = c$ в него: $$ c^2 + ac + bc = 0 $$ Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $$ c(c + a + b) = 0 $$ По условию $c \neq 0$, следовательно: $$ a + b + c = 0 \implies a + b = -c $$ Пусть $x_1$ — второй корень первого уравнения $x^2 + ax + bc = 0$, а $x_2$ — второй корень второго уравнения $x^2 + bx + ca = 0$. По теореме Виета для произведения корней: 1) Для первого уравнения: $x_0 \cdot x_1 = bc$. Так как $x_0 = c$ и $c \neq 0$, имеем: $$ c \cdot x_1 = bc \implies x_1 = b $$ 2) Для второго уравнения: $x_0 \cdot x_2 = ca$. Так как $x_0 = c$ и $c \neq 0$, имеем: $$ c \cdot x_2 = ca \implies x_2 = a $$ Значит, «другие» корни данных уравнений — это числа $b$ и $a$. Проверим, являются ли числа $a$ и $b$ корнями уравнения $x^2 + cx + ab = 0$. Подставим $x = a$ в левую часть уравнения: $$ a^2 + ca + ab = a(a + c + b) $$ Так как $a + b + c = 0$, получаем: $$ a \cdot 0 = 0 $$ Подставим $x = b$ в левую часть уравнения: $$ b^2 + cb + ab = b(b + c + a) $$ Так как $a + b + c = 0$, получаем: $$ b \cdot 0 = 0 $$ Следовательно, числа $a$ и $b$ обращают уравнение $x^2 + cx + ab = 0$ в верное числовое равенство, то есть действительно являются его корнями. Что и требовалось доказать.