ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 896

Рассмотрим два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$. **1. Случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:** $$ r^2 - 1 = 0 \implies r = 1 \text{ или } r = -1 $$ - При $r = 1$: $$ (1^2 - 1)x^2 + 2(1 - 1)x + 1 > 0 $$ $$ 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 > 0 \implies 1 > 0 $$ Неравенство $1 > 0$ верно при всех действительных значениях $x$. Значит, значение $r = 1$ удовлетворяет условию задачи. - При $r = -1$: $$ ((-1)^2 - 1)x^2 + 2(-1 - 1)x + 1 > 0 $$ $$ 0 \cdot x^2 - 4x + 1 > 0 \implies -4x + 1 > 0 \implies x < \frac{1}{4} $$ Неравенство выполняется не при всех значениях $x$, поэтому значение $r = -1$ не подходит. --- **2. Случай, когда коэффициент при $x^2$ отличен от нуля ($r \neq \pm 1$):** Неравенство является квадратным: $$ (r^2 - 1)x^2 + 2(r - 1)x + 1 > 0 $$ Квадратный трехчлен $Ax^2 + Bx + C > 0$ положителен при всех действительных $x$ тогда и только тогда, когда ветви параболы направлены вверх ($A > 0$), а дискриминант строго отрицателен ($D < 0$): $$ \begin{cases} r^2 - 1 > 0 \\ D < 0 \end{cases} $$ Используем четверть дискриминанта $\frac{D}{4} = k^2 - AC$, где $k = r - 1$, $A = r^2 - 1$, $C = 1$: $$ \frac{D}{4} = (r - 1)^2 - (r^2 - 1) \cdot 1 = r^2 - 2r + 1 - r^2 + 1 = 2 - 2r $$ Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} r^2 - 1 > 0 \\ 2 - 2r < 0 \end{cases} $$ 1) Решим первое неравенство: $$ (r - 1)(r + 1) > 0 \implies r \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) $$ 2) Решим второе неравенство: $$ -2r < -2 \implies r > 1 $$ Пересекая решения, получаем: $$ r \in (1; +\infty) $$ --- **3. Объединение решений:** Объединяем результат из первого случая ($r = 1$) и результат из второго случая ($r > 1$): $$ r \in [1; +\infty) $$ Ответ: $r \in [1; +\infty)$ (или $r \ge 1$).