ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 893

Пусть $x_1$ — рациональный корень квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби: $x_1 = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), а числа $m$ и $n$ являются взаимно простыми (то есть не имеют общих делителей, кроме $1$). Подставим $x_1 = \frac{m}{n}$ в исходное уравнение: $$ \left(\frac{m}{n}\right)^2 + p \cdot \frac{m}{n} + q = 0 $$ $$ \frac{m^2}{n^2} + \frac{pm}{n} + q = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $n^2$: $$ m^2 + pmn + qn^2 = 0 $$ Выразим $m^2$: $$ m^2 = -pmn - qn^2 $$ Вынесем $n$ за скобки в правой части: $$ m^2 = -n(pm + qn) $$ Так как $p$, $q$, $m$ и $n$ — целые числа, выражение в скобках $-(pm + qn)$ также является целым числом. Следовательно, правая часть равенства делится на $n$, а значит, и левая часть $m^2$ должна делиться нацело на $n$. Поскольку дробь $\frac{m}{n}$ несократима, числа $m$ и $n$ взаимно просты (у них нет общих простых множителей). Тогда и числа $m^2$ и $n$ также взаимно просты. Число $m^2$ может делиться нацело на $n$ только в том случае, если знаменатель равен единице: $$ n = 1 $$ Значит, корень $x_1 = \frac{m}{1} = m$ является целым числом. По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $$ x_1 + x_2 = -p $$ Отсюда выразим второй корень: $$ x_2 = -p - x_1 $$ По условию число $p$ целое, и мы доказали, что корень $x_1$ — целое число. Разность целых чисел всегда является целым числом, следовательно, $x_2$ — также целое число. Таким образом, если данное уравнение имеет рациональные корни, то они обязательно являются целыми числами, что и требовалось доказать.