ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 892

Квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: $$ D_1 = p^2 - 4q \ge 0 $$ Рассмотрим второе уравнение при $r \neq 0$: $$ x^2 + \left(r + \frac{1}{r}\right)px + q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = 0 $$ Вычислим его дискриминант $D_2$: $$ D_2 = \left(\left(r + \frac{1}{r}\right)p\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = \left(r + \frac{1}{r}\right)^2 p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 $$ Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ \left(r + \frac{1}{r}\right)^2 = r^2 + 2 \cdot r \cdot \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2} = r^2 + 2 + \frac{1}{r^2} $$ $$ \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = r^2 - 2 \cdot r \cdot \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2} = r^2 - 2 + \frac{1}{r^2} $$ Отсюда следует равенство: $$ \left(r + \frac{1}{r}\right)^2 = \left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4 $$ Подставим это выражение в формулу для $D_2$: $$ D_2 = \left(\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4\right) p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 $$ Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $$ D_2 = p^2\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4p^2 - 4q\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 = (p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4p^2 $$ Оценим знак полученного выражения: 1. По условию исходное уравнение имеет действительные корни, поэтому $p^2 - 4q \ge 0$. 2. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 \ge 0$. Следовательно, их произведение также неотрицательно: $$ (p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 \ge 0 $$ 3. Слагаемое $4p^2 \ge 0$ при любом действительном $p$. Таким образом, дискриминант $D_2$ представляет собой сумму двух неотрицательных выражений: $$ D_2 = (p^2 - 4q)\left(r - \frac{1}{r}\right)^2 + 4p^2 \ge 0 $$ Так как $D_2 \ge 0$ при любом $r \neq 0$, уравнение имеет действительные корни при любом $r \neq 0$, что и требовалось доказать.