ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 489

Пусть вся работа (площадь всего поля) принята за $1$. Обозначим через $x$ количество дней, за которое может вспахать всё поле первый трактор, работая отдельно. Так как первый трактор может выполнить эту работу на $5$ дней быстрее второго, то второму трактору потребуется $(x + 5)$ дней. Тогда: * $\frac{1}{x}$ — производительность первого трактора (часть поля, вспаханная за $1$ день); * $\frac{1}{x + 5}$ — производительность второго трактора; * $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right)$ — совместная производительность двух тракторов за $1$ день. По условию задачи, работая вместе в течение $4$ дней, тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Составим уравнение: $$ 4 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right) = \frac{2}{3} $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6} $$ Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю: $$ \frac{x + 5 + x}{x(x + 5)} = \frac{1}{6} $$ $$ \frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6} $$ При условии $x > 0$ и $x \neq -5$, используя основное свойство пропорции, получаем: $$ x^2 + 5x = 6(2x + 5) $$ $$ x^2 + 5x = 12x + 30 $$ $$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как время работы не может быть отрицательной величиной. Значит, первый трактор может вспахать поле за $10$ дней. Найдём время работы второго трактора: $$ 10 + 5 = 15 \text{ (дней)}. $$ Ответ: за 10 дней первым трактором и за 15 дней вторым трактором.