ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 469

**1)** $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ Это биквадратное уравнение. Введём новую переменную: пусть $x^2 = t$, причём $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 3t - 4 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 $$ Значение $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому не даёт действительных корней. Вернёмся к замене для $t_1 = 4$: $$ x^2 = 4 $$ $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Ответ: $-2; 2$. --- **2)** $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 + 3t - 4 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 $$ Значение $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Вернёмся к замене для $t_1 = 1$: $$ x^2 = 1 $$ $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -1 $$ Ответ: $-1; 1$. --- **3)** $x^4 + x^2 - 20 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + t - 20 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5 $$ Значение $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Вернёмся к замене для $t_1 = 4$: $$ x^2 = 4 $$ $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ Ответ: $-2; 2$. --- **4)** $x^4 - 4x^2 - 5 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 4t - 5 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $$ $$ t_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 $$ $$ t_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 $$ Значение $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Вернёмся к замене для $t_1 = 5$: $$ x^2 = 5 $$ $$ x_1 = \sqrt{5}, \quad x_2 = -\sqrt{5} $$ Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.