ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 471

### 1) $$ \frac{3x + 4}{x - 6} = \frac{x - 2}{4x + 3} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 6 \neq 0 \\ 4x + 3 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 6 \\ x \neq -0,75 \end{cases} $$ Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ (3x + 4)(4x + 3) = (x - 2)(x - 6) $$ Раскроем скобки: $$ 12x^2 + 9x + 16x + 12 = x^2 - 6x - 2x + 12 $$ $$ 12x^2 + 25x + 12 = x^2 - 8x + 12 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены: $$ 12x^2 - x^2 + 25x + 8x + 12 - 12 = 0 $$ $$ 11x^2 + 33x = 0 $$ Вынесем общий множитель $11x$ за скобки: $$ 11x(x + 3) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \implies x = -3 $$ Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 6$, $x \neq -0,75$). Ответ: $-3$; $0$. --- ### 2) $$ \frac{x + 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{13}{6} $$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies x \neq \pm 2 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $6(x - 2)(x + 2) = 6(x^2 - 4)$: $$ 6(x + 2)^2 + 6(x - 2)^2 = 13(x - 2)(x + 2) $$ Применим формулы сокращённого умножения: $$ 6(x^2 + 4x + 4) + 6(x^2 - 4x + 4) = 13(x^2 - 4) $$ $$ 6x^2 + 24x + 24 + 6x^2 - 24x + 24 = 13x^2 - 52 $$ $$ 12x^2 + 48 = 13x^2 - 52 $$ Перенесём слагаемые с переменной вправо, а числа — влево: $$ 13x^2 - 12x^2 = 48 + 52 $$ $$ x^2 = 100 $$ $$ x = \pm 10 $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$). Ответ: $-10$; $10$. --- ### 3) $$ \frac{x + 5}{x + 2} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 1} $$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq -2 \\ x \neq -1 \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 1)(x + 2)$: $$ (x + 5)(x + 1) + 1 = 1 \cdot (x + 2) $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + x + 5x + 5 + 1 = x + 2 $$ $$ x^2 + 6x + 6 = x + 2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ x^2 + 6x - x + 6 - 2 = 0 $$ $$ x^2 + 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -5 \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = -4 $$ Проверим корни по ОДЗ: - Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ (обращает знаменатель в ноль) — посторонний корень. - Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-4$. --- ### 4) $$ \frac{x^2 - 2x - 5}{(x - 3)(x - 1)} + \frac{1}{x - 3} = 1 $$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 3 \neq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 3)(x - 1)$: $$ x^2 - 2x - 5 + 1 \cdot (x - 1) = 1 \cdot (x - 3)(x - 1) $$ Раскроем скобки: $$ x^2 - 2x - 5 + x - 1 = x^2 - 4x + 3 $$ $$ x^2 - x - 6 = x^2 - 4x + 3 $$ Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $$ x^2 - x - x^2 + 4x = 3 + 6 $$ $$ 3x = 9 $$ $$ x = 3 $$ Проверим корень по ОДЗ: При $x = 3$ знаменатель обращается в ноль, следовательно, $x = 3$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Ответ: корней нет. --- ### 5) $$ \frac{x^2}{x + 3} - \frac{x}{-3 - x} = \frac{6}{x + 3} $$ Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся минус: $-3 - x = -(x + 3)$. Тогда: $$ \frac{x^2}{x + 3} + \frac{x}{x + 3} = \frac{6}{x + 3} $$ ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Умножим обе части уравнения на $(x + 3)$: $$ x^2 + x = 6 $$ $$ x^2 + x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 2 $$ Проверим корни по ОДЗ: - Корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ — посторонний корень. - Корень $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $2$. --- ### 6) $$ \frac{x^2}{x - 1} - \frac{2x}{1 - x} = \frac{3}{x - 1} $$ Преобразуем знаменатель второй дроби: $1 - x = -(x - 1)$. Получаем: $$ \frac{x^2}{x - 1} + \frac{2x}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} $$ ОДЗ: $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Умножим обе части уравнения на $(x - 1)$: $$ x^2 + 2x = 3 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -3 $$ Проверим корни по ОДЗ: - Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ — посторонний корень. - Корень $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-3$.