ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 467

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену: $$ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q $$ Если для найденных с помощью микрокалькулятора значений эти равенства выполняются абсолютно точно, то значения являются точными. Если не выполняются или корень из дискриминанта не извлекается нацело (является бесконечной непериодической десятичной дробью), то значения являются приближёнными. --- ### 1) $x^2 + 2x - 1 = 0$ Здесь $p = 2$, $q = -1$. Найдём корни по формуле через дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ С помощью микрокалькулятора вычисляем $\sqrt{2} \approx 1,4142$: * $x_1 = -1 + 1,4142 = 0,4142$; * $x_2 = -1 - 1,4142 = -2,4142$. Проверим по теореме Виета: * сумма корней: $x_1 + x_2 = 0,4142 + (-2,4142) = -2 = -p$; * произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0,4142 \cdot (-2,4142) \approx -0,99996 \neq -1$ ($q = -1$). Так как число $\sqrt{2}$ иррациональное, микрокалькулятор выдаёт округлённое значение. **Ответ:** $x_1 \approx 0,41$, $x_2 \approx -2,41$ — приближённые значения корней. --- ### 2) $x^2 - 2x - 2 = 0$ Здесь $p = -2$, $q = -2$. Найдём дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} $$ С помощью микрокалькулятора вычисляем $\sqrt{3} \approx 1,732$: * $x_1 = 1 + 1,732 = 2,732$; * $x_2 = 1 - 1,732 = -0,732$. Проверим по теореме Виета: * сумма корней: $x_1 + x_2 = 2,732 + (-0,732) = 2 = -p$; * произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2,732 \cdot (-0,732) \approx -1,9998 \neq -2$ ($q = -2$). Так как $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, экран калькулятора отображает лишь его приближение. **Ответ:** $x_1 \approx 2,73$, $x_2 \approx -0,73$ — приближённые значения корней. --- ### 3) $x^2 + 1,8x - 28,35 = 0$ Здесь $p = 1,8$, $q = -28,35$. Найдём дискриминант с помощью микрокалькулятора: $$ D = 1,8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28,35) = 3,24 + 113,4 = 116,64 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{116,64} = 10,8 $$ Найдём корни: $$ x_1 = \frac{-1,8 + 10,8}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 $$ $$ x_2 = \frac{-1,8 - 10,8}{2} = \frac{-12,6}{2} = -6,3 $$ Проверим по теореме Виета: * $x_1 + x_2 = 4,5 + (-6,3) = -1,8 = -p$ (верно); * $x_1 \cdot x_2 = 4,5 \cdot (-6,3) = -28,35 = q$ (верно). Оба равенства выполняются точно. **Ответ:** $x_1 = 4,5$, $x_2 = -6,3$ — точные значения корней. --- ### 4) $x^2 - 39x - 1026 = 0$ Здесь $p = -39$, $q = -1026$. Найдём дискриминант с помощью микрокалькулятора: $$ D = (-39)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1026) = 1521 + 4104 = 5625 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{5625} = 75 $$ Найдём корни: $$ x_1 = \frac{39 + 75}{2} = \frac{114}{2} = 57 $$ $$ x_2 = \frac{39 - 75}{2} = \frac{-36}{2} = -18 $$ Проверим по теореме Виета: * $x_1 + x_2 = 57 + (-18) = 39 = -p$ (верно); * $x_1 \cdot x_2 = 57 \cdot (-18) = -1026 = q$ (верно). Оба равенства выполняются точно. **Ответ:** $x_1 = 57$, $x_2 = -18$ — точные значения корней.