ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 466

Для уравнения $3x^2 - 8x - 15 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -8$, $c = -15$. Дискриминант уравнения: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 64 + 180 = 244 > 0 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета: $$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{3} = \frac{8}{3} $$ $$ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{3} = -5 $$ 1) Приведём дробь к общему знаменателю: $$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} $$ Подставим значения суммы и произведения корней: $$ \frac{\frac{8}{3}}{-5} = -\frac{8}{3 \cdot 5} = -\frac{8}{15} $$ 2) Выделим полный квадрат суммы: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$ Подставим известные значения: $$ x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 2 \cdot (-5) = \frac{64}{9} + 10 = \frac{64 + 90}{9} = \frac{154}{9} = 17\frac{1}{9} $$ 3) Приведём слагаемые к общему знаменателю: $$ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} $$ Используем значение суммы квадратов из предыдущего пункта: $$ \frac{\frac{154}{9}}{-5} = -\frac{154}{9 \cdot 5} = -\frac{154}{45} = -3\frac{19}{45} $$ 4) Разложим сумму кубов по формуле сокращённого умножения: $$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2) $$ Подставим найденные значения: $$ x_1^3 + x_2^3 = \frac{8}{3} \cdot \left(\frac{154}{9} - (-5)\right) = \frac{8}{3} \cdot \left(\frac{154}{9} + \frac{45}{9}\right) = \frac{8}{3} \cdot \frac{199}{9} = \frac{1592}{27} = 58\frac{26}{27} $$ Ответ: 1) $-\frac{8}{15}$; 2) $17\frac{1}{9}$; 3) $-3\frac{19}{45}$; 4) $58\frac{26}{27}$.