ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 470

**1)** $$\frac{10}{x-3}-\frac{8}{x}=1$$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x-3 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-3)$: $$10x - 8(x-3) = x(x-3)$$ Раскроем скобки: $$10x - 8x + 24 = x^2 - 3x$$ $$2x + 24 = x^2 - 3x$$ Перенесем все слагаемые в одну часть: $$x^2 - 5x - 24 = 0$$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$$ $$x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-3;\ 8$. --- **2)** $$\frac{2}{x-5}+\frac{14}{x}=3$$ ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-5)$: $$2x + 14(x-5) = 3x(x-5)$$ Раскроем скобки: $$2x + 14x - 70 = 3x^2 - 15x$$ $$16x - 70 = 3x^2 - 15x$$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$3x^2 - 31x + 70 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 961 - 840 = 121 = 11^2$$ $$x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7$$ $$x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $3\frac{1}{3};\ 7$. --- **3)** $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{3}{20}$$ ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $20x(x+3)$: $$20(x+3) + 20x = 3x(x+3)$$ Раскроем скобки: $$20x + 60 + 20x = 3x^2 + 9x$$ $$40x + 60 = 3x^2 + 9x$$ Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $$3x^2 - 31x - 60 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 961 + 720 = 1681 = 41^2$$ $$x_1 = \frac{31 + 41}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$$ $$x_2 = \frac{31 - 41}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-1\frac{2}{3};\ 12$. --- **4)** $$\frac{40}{x-20}-\frac{40}{x}=1$$ ОДЗ: $x-20 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 20$ и $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x(x-20)$: $$40x - 40(x-20) = x(x-20)$$ Раскроем скобки: $$40x - 40x + 800 = x^2 - 20x$$ $$800 = x^2 - 20x$$ $$x^2 - 20x - 800 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 400 + 3200 = 3600 = 60^2$$ $$x_1 = \frac{20 + 60}{2} = \frac{80}{2} = 40$$ $$x_2 = \frac{20 - 60}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Оба значения входят в ОДЗ. Ответ: $-20;\ 40$. --- **5)** $$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{5}{8}$$ ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Умножим обе части на общий знаменатель $8(x-3)(x+3) = 8(x^2 - 9)$: $$8(x+3) + 8(x-3) = 5(x^2 - 9)$$ Раскроем скобки: $$8x + 24 + 8x - 24 = 5x^2 - 45$$ $$16x = 5x^2 - 45$$ $$5x^2 - 16x - 45 = 0$$ Найдем корни: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$$ $$x_1 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$$ $$x_2 = \frac{16 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{-18}{10} = -1,8$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-1,8;\ 5$. --- **6)** $$\frac{4}{x-2}+\frac{4}{x+2}=1,5$$ ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Умножим обе части уравнения на $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$: $$4(x+2) + 4(x-2) = 1,5(x^2 - 4)$$ Раскроем скобки: $$4x + 8 + 4x - 8 = 1,5x^2 - 6$$ $$8x = 1,5x^2 - 6$$ $$1,5x^2 - 8x - 6 = 0$$ Умножим обе части уравнения на $2$, чтобы коэффициенты стали целыми: $$3x^2 - 16x - 12 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2$$ $$x_1 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$$ $$x_2 = \frac{16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-\frac{2}{3};\ 6$.