ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин практические и прикладные задачи / глава 4 - 1

Переведем время совместной работы труб в часы: $$ 2\text{ ч } 55\text{ мин} = 2\frac{55}{60}\text{ ч} = 2\frac{11}{12}\text{ ч} = \frac{35}{12}\text{ ч}. $$ Примем объем всего водонапорного бака за $1$. Пусть первая труба, работая отдельно, заполняет бак за $x$ ч, где $x > 0$. Так как первая труба может наполнить бак на $2$ ч быстрее второй, то второй трубе требуется $(x + 2)$ ч. Тогда: * $\frac{1}{x}$ — производительность первой трубы (часть бака, наполняемая за 1 час); * $\frac{1}{x + 2}$ — производительность второй трубы (часть бака, наполняемая за 1 час); * $1 : \frac{35}{12} = \frac{12}{35}$ — совместная производительность двух труб за 1 час. Составим уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{12}{35} $$ Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{x + 2 + x}{x(x + 2)} = \frac{12}{35} $$ $$ \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x} = \frac{12}{35} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \frac{x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{6}{35} $$ По основному свойству пропорции при $x > 0$: $$ 35(x + 1) = 6(x^2 + 2x) $$ $$ 35x + 35 = 6x^2 + 12x $$ $$ 6x^2 - 23x - 35 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-35) = 529 + 840 = 1369 = 37^2 $$ $$ x_1 = \frac{23 + 37}{2 \cdot 6} = \frac{60}{12} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{23 - 37}{2 \cdot 6} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6} $$ Корень $x = -\frac{7}{6}$ не подходит по смыслу задачи, так как время работы не может быть отрицательным числом. Значит, первая труба заполнит бак за $5$ ч. Найдем время работы второй трубы: $$ x + 2 = 5 + 2 = 7\text{ (ч)}. $$ Ответ: первая труба заполнит бак за 5 ч, вторая труба — за 7 ч.