ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин практические и прикладные задачи / глава 3 - 8

Формула зависимости массы $m$ от скорости $v$ имеет вид: $$ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$ Чтобы узнать, на сколько процентов увеличится масса тела, выразим относительное изменение массы: $$ \frac{m - m_0}{m_0} \cdot 100\% = \left(\frac{m}{m_0} - 1\right) \cdot 100\% $$ Разделим обе части исходной формулы на $m_0$: $$ \frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$ --- **1) При скорости $v = \frac{c}{2}$:** Отношение скорости движения к скорости света равно: $$ \frac{v}{c} = \frac{1}{2} $$ Вычислим значение подкоренного выражения: $$ 1 - \frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ Тогда отношение масс равно: $$ \frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$ Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1{,}732$: $$ \frac{m}{m_0} \approx \frac{2 \cdot 1{,}732}{3} \approx 1{,}155 $$ Найдём увеличение массы в процентах: $$ \left(\frac{m}{m_0} - 1\right) \cdot 100\% \approx (1{,}155 - 1) \cdot 100\% = 0{,}155 \cdot 100\% = 15{,}5\% \approx 15\% $$ --- **2) При скорости $v = 10^5\text{ км/с}$ и $c = 3 \cdot 10^5\text{ км/с}$:** Отношение скорости движения к скорости света равно: $$ \frac{v}{c} = \frac{10^5}{3 \cdot 10^5} = \frac{1}{3} $$ Вычислим значение подкоренного выражения: $$ 1 - \frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $$ Тогда отношение масс равно: $$ \frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{\frac{8}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} $$ Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1{,}414$: $$ \frac{m}{m_0} \approx \frac{3 \cdot 1{,}414}{4} = \frac{4{,}242}{4} \approx 1{,}061 $$ Найдём увеличение массы в процентах: $$ \left(\frac{m}{m_0} - 1\right) \cdot 100\% \approx (1{,}061 - 1) \cdot 100\% = 0{,}061 \cdot 100\% = 6{,}1\% \approx 6\% $$ --- **Ответ:** 1) примерно на $15{,}5\%$ (или $\approx 15\%$); 2) примерно на $6{,}1\%$ (или $\approx 6\%$).