ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.45

**7.45.** Чтобы сравнить степени с разными основаниями и показателями, приведём их к одинаковому показателю степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. 1) Сравним $5^{300}$ и $3^{500}$. Наибольший общий делитель показателей $300$ и $500$ равен $100$. Представим каждое число в виде степени с показателем $100$: $$ 5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100} $$ $$ 3^{500} = (3^5)^{100} = 243^{100} $$ Так как $125 < 243$, то: $$ 125^{100} < 243^{100} $$ Следовательно, $5^{300} < 3^{500}$. Больше число $3^{500}$. 2) Сравним $2^{700}$ и $5^{300}$. Наибольший общий делитель показателей $700$ и $300$ равен $100$. Представим каждое число в виде степени с показателем $100$: $$ 2^{700} = (2^7)^{100} = 128^{100} $$ $$ 5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100} $$ Так как $128 > 125$, то: $$ 128^{100} > 125^{100} $$ Следовательно, $2^{700} > 5^{300}$. Больше число $2^{700}$. 3) Сравним $2^{300}$ и $3^{200}$. Наибольший общий делитель показателей $300$ и $200$ равен $100$. Представим каждое число в виде степени с показателем $100$: $$ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} $$ $$ 3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100} $$ Так как $8 < 9$, то: $$ 8^{100} < 9^{100} $$ Следовательно, $2^{300} < 3^{200}$. Больше число $3^{200}$. **Ответ:** 1) $3^{500}$; 2) $2^{700}$; 3) $3^{200}$.